বিন্দু (2, -2) তে বক্ররেখা x2y2 - 2x = 4(1 - y) এর স্পর্শকটি ______  বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে না।

ধারণা:

বিন্দু (x1, y1 ) তে বক্ররেখা y = f(x) এর স্পর্শকের সমীকরণটি হল \(\rm (y-y_1) = m (x - x_1)\), যেখানে m = f'(x) হল বক্ররেখার নতি।

এই রেখাটি বিন্দু (x¹, y¹ ) এর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করবে যদি বিন্দু (x¹, y¹ ) একটি রেখার সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

গণনা:

প্রদত্ত, বক্ররেখার সমীকরণটি হল x2y2 - 2x = 4(1 - y) 

⇒ \(\rm 2xy^2+2x^2y\dfrac {dy}{dx} - 2 = -4\dfrac {dy}{dx}\)

⇒ \(\rm \dfrac {dy}{dx} (2x^2y+4)=2 -2xy^2\)

⇒ \(\rm \dfrac {dy}{dx} =\dfrac {2 -2xy^2}{2x^2y+4}\)

⇒ \(\rm (\dfrac {dy}{dx})_{(2, - 2)} =\dfrac {2 -2(2)(-2)^2}{2(2)^2(-2)+4}\)

⇒ \(\rm (\dfrac {dy}{dx})_{(2, - 2)} =\dfrac 76\)

বিন্দু (x1, y1 ) তে বক্ররেখা y = f(x) এর স্পর্শকের সমীকরণটি হল \(\rm (y-y_1) = m (x - x_1)\), যেখানে m হল বক্ররেখার নতি।

এখানে (x1, y1 ) =  (2, -2) এবং m = \(\rm \dfrac 7 6\)

⇒ \(\rm (y+2) = \dfrac 76 (x - 2)\) 

⇒ 7x - 6y = 26.

সুতরাং, বিন্দু (2, -2) তে বক্ররেখা x2y2 - 2x = 4(1 - y) এর স্পর্শকের সমীকরণটি হল   7x - 6y = 26

এখন,স্পর্শকের সমীকরণ 7x - 6y = 26 তে বিন্দু (-2, -7) কে স্থাপন করার পর।

বামপক্ষ = 7(-2) - 6(- 7) = 28

ডানপক্ষ = 26

⇒ বামপক্ষ \(\neq\) ডানপক্ষ

বিন্দু (2, -2) তে বক্ররেখা x2y2 - 2x = 4(1 - y) এর স্পর্শকটি বিন্দু (-2, -7) মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে না।