Using Variable Separable Method MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Using Variable Separable Method - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన:

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

ln ey = y .

లెక్కింపు:

మనకు ఉంది,

dy =  ex + 2y dx 

⇒ dy = ex . e2y dx 

⇒ e-2y dy = ex dx 

రెండు వైపులా సమగ్రపరచడం ద్వారా, మేము పొందుతాము

 ​

​e-2y  = ex + C          .... (i) 

y (0) = 0 , అంటే x = 0 వద్ద , y = 0 , దీనిని (i) లో ఉంచడం,

 = 1 + సC

⇒ సి = .$-\frac{3}{2}$

C = (i) లో పెట్టడం, మనకు లభిస్తుంది

C = $-\frac{3}{2}$ in (i) , we get 

$-\frac{1}{2}$ e-2y = ex  $-\frac{3}{2}$

⇒ e-2y = - 2ex  + 3

⇒ e2y = $\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$ 

⇒ 2y = ln $\left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$ 

⇒ y = . 

సరైన ఎంపిక 3.

భావన:

వేరియబుల్ విభజన:

సమీకరణం వేరియబుల్స్ వేరు చేయగలిగితే, అప్పుడు

• వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయండి.
• ఇరువైపులా ఒకే వేరియబుల్ తీసుకోండి.
• సంబంధిత వేరియబుల్‌తో రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేయండి.

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

రెండు వైపులా ఏకీకరణం చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

⇒ sin-1 y = sin-1x + c

⇒ sin-1 y = sin-1 x + sin-1 c

⇒ sin-1 y - sin-1 x = sin-1 c

కాన్సెప్ట్:

$\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c}$

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

x2dy + y2dx = 0

⇒ x2dy = -y2dx

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

రెండు వైపులా సమకలనం చేయగా, మేము పొందుతాము

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

 $$\begin{gathered} \frac{-1}{\mathrm{y}}=-\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{-1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-\mathrm{c} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{y} \end{gathered}$$

ఇక్కడ c అవకలన స్థిరాంకం, -c = 1/c తీసుకోండి (ఎందుకంటే 1/c కూడా స్థిరాంకం)

⇒ c(x + y) = xy

భావన:

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

ln ey = y .

లెక్కింపు:

మనకు ఉంది,

dy =  ex + 2y dx 

⇒ dy = ex . e2y dx 

⇒ e-2y dy = ex dx 

రెండు వైపులా సమగ్రపరచడం ద్వారా, మేము పొందుతాము

 ​

​e-2y  = ex + C          .... (i) 

y (0) = 0 , అంటే x = 0 వద్ద , y = 0 , దీనిని (i) లో ఉంచడం,

 = 1 + సC

⇒ సి = .$-\frac{3}{2}$

C = (i) లో పెట్టడం, మనకు లభిస్తుంది

C = $-\frac{3}{2}$ in (i) , we get 

$-\frac{1}{2}$ e-2y = ex  $-\frac{3}{2}$

⇒ e-2y = - 2ex  + 3

⇒ e2y = $\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$ 

⇒ 2y = ln $\left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$ 

⇒ y = . 

సరైన ఎంపిక 3.

భావన:

వేరియబుల్ విభజన:

సమీకరణం వేరియబుల్స్ వేరు చేయగలిగితే, అప్పుడు

• వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయండి.
• ఇరువైపులా ఒకే వేరియబుల్ తీసుకోండి.
• సంబంధిత వేరియబుల్‌తో రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేయండి.

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

రెండు వైపులా ఏకీకరణం చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

⇒ sin-1 y = sin-1x + c

⇒ sin-1 y = sin-1 x + sin-1 c

⇒ sin-1 y - sin-1 x = sin-1 c

కాన్సెప్ట్:

$\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c}$

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

x2dy + y2dx = 0

⇒ x2dy = -y2dx

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

రెండు వైపులా సమకలనం చేయగా, మేము పొందుతాము

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{{\mathrm{y}}^2}=-\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

 $$\begin{gathered} \frac{-1}{\mathrm{y}}=-\frac{-1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{-1}{\mathrm{y}}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{c} \\ \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{\mathrm{y}}=-\mathrm{c} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=-\mathrm{c}\mathrm{x}\mathrm{y} \end{gathered}$$

ఇక్కడ c అవకలన స్థిరాంకం, -c = 1/c తీసుకోండి (ఎందుకంటే 1/c కూడా స్థిరాంకం)

⇒ c(x + y) = xy

భావన:

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

ln ey = y .

లెక్కింపు:

మనకు ఉంది,

dy =  ex + 2y dx 

⇒ dy = ex . e2y dx 

⇒ e-2y dy = ex dx 

రెండు వైపులా సమగ్రపరచడం ద్వారా, మేము పొందుతాము

 ​

​e-2y  = ex + C          .... (i) 

y (0) = 0 , అంటే x = 0 వద్ద , y = 0 , దీనిని (i) లో ఉంచడం,

 = 1 + సC

⇒ సి = .$-\frac{3}{2}$

C = (i) లో పెట్టడం, మనకు లభిస్తుంది

C = $-\frac{3}{2}$ in (i) , we get 

$-\frac{1}{2}$ e-2y = ex  $-\frac{3}{2}$

⇒ e-2y = - 2ex  + 3

⇒ e2y = $\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$ 

⇒ 2y = ln $\left(\frac{1}{3-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)$ 

⇒ y = . 

సరైన ఎంపిక 3.

భావన:

వేరియబుల్ విభజన:

సమీకరణం వేరియబుల్స్ వేరు చేయగలిగితే, అప్పుడు

• వేరియబుల్స్‌ను వేరు చేయండి.
• ఇరువైపులా ఒకే వేరియబుల్ తీసుకోండి.
• సంబంధిత వేరియబుల్‌తో రెండు వైపులా ఏకీకృతం చేయండి.

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

రెండు వైపులా ఏకీకరణం చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము

$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\sqrt{1-{\mathrm{y}}^2}}=\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$

⇒ sin-1 y = sin-1x + c

⇒ sin-1 y = sin-1 x + sin-1 c

⇒ sin-1 y - sin-1 x = sin-1 c