Three Dimensional Geometry MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Three Dimensional Geometry - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

समतल बिंदु से गुजरता है और दिक् अनुपात वाली रेखा के लंबवत है।

समतल की सामान्य समीकरण इस प्रकार है:

, जहाँ समतल के अभिलम्ब के दिशा अनुपात हैं।

चूँकि समतल रेखा के लंबवत है, इसलिए समतल का अभिलम्ब सदिश है।

इस प्रकार, समतल की समीकरण बन जाता है:

.

ज्ञात करने के लिए, बिंदु को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

, जो सरल होकर निम्नवत हो जाता है:

,

.

इसलिए, समतल का समीकरण है।

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

रेखा समीकरण है: , जहाँ p = 2q = 3r है।

रेखा y-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ कोण θ बनाती है।

दिक् कोज्याओं के बीच निम्न संबंध का उपयोग करते हुए

,

हम p = 3r और q = प्रतिस्थापित करते हैं।

y-अक्ष के साथ दिशांक कोज्या द्वारा दी गई है।

.

अब, कोज्या के द्वि-कोण सर्वसमिका  का उपयोग करने पर:

.

इसलिए, का मान है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

हम जानते हैं कि ... (i)

और

प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

L = x + y + z + 4 = 0 = 2x - y - z + 8 और

P = x + 2y + 3z + 1 = 0 एक समतल है।

L और P के प्रतिच्छेद बिंदु को खोजने के लिए,

बिंदु को रेखा L और समतल P दोनों को संतुष्ट करना चाहिए और विकल्प (d) (-4, -3, 3) रेखा L और समतल P दोनों को संतुष्ट करेगा।

इसलिए विकल्प (d) सही उत्तर है।

संकल्पना:

सदिश का दिशा कोसाइन कोणों का वह कोसाइन होता है जो निर्देशांक अक्षों के साथ सदिश रूप बनाता है। 

गणना:

Z - अक्ष X - अक्ष के साथ एक कोण 90°, Y - अक्ष के साथ 90°, और Z - अक्ष के साथ 0° बनाता है। 

∴ Z - अक्ष का दिशा कोसाइन: cos 90, cos 90, cos 0

अर्थात् 0, 0, 1 

अब z - अक्ष के दिशा कोसाइन का योग = 0 +  0 + 1 = 1 

अतः विकल्प (3) सही है। 

संकल्पना:

1. दिशा कोण: यदि α, β, और γ निर्देशांक अक्ष के साथ रेखा खंड द्वारा बनाए गए कोण हैं तो इन कोणों को दिशा कोण कहा जाता है।
2. दिशा कोसाइन: दिशा कोणों के कोसाइन रेखा के दिशा कोसाइन होते हैं। इसलिए, cos α, cos β और cos γ को दिशा कोसाइन कहा जाता है

इसे l, m और n द्वारा निरूपित किया जाता है। ⇔ l = cos α, m = cos β और n = cos γ

3. एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

 l2 + m2 + n2 = 1 or cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

4. दिशा अनुपात: कोई भी संख्याएँ जो किसी रेखा के दिशा कोसाइन के आनुपातिक होती है, उसे दिशा अनुपात कहा जाता है। इसे ’a’, 'b' और 'C' द्वारा दर्शाया जाता है।
5. a ∝ l, b ∝ m और c ∝ n ⇔ a = kl, b = km और c = kn जहां k एक स्थिरांक है।

गणना:

हमें sin2 α + sin2 β + sin2 γ का मूल्य खोजना होगा

हम जानते हैं कि एक रेखा के दिशा कोसाइन के वर्गों का योग एकता के बराबर है।

⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = 1

⇒ 1 - sin² α + 1 - sin² β + 1 - sin² γ = 1 (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

⇒ 3 – (sin² α + sin² β + sin² γ) = 1

⇒ 3 – 1 = sin² α + sin² β + sin² γ

∴ sin² α + sin² β + sin² γ = 2

संकल्पना:

• माना कि A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 और A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0 एक कोण θ पर संरेखीय दो तलों के समीकरण हैं जहाँ A₁, B₁, C₁ और A₂, B₂, C₂ तल के लंब के दिशा अनुपात हैं, तो दो तलों के बीच के कोण का कोसाइन निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

गणना:

दिए गए तल x + 2y + z = 7 और 2x – y + z = 13 हैं। 

∴ 

संकल्पना:

मान लीजिए θ ढलान वाली दो रेखाओं m₁ और m₂ के बीच का कोण है, तो रेखाओं के बीच का न्यून कोण निम्न द्वारा दिया जाता है:

गणना:

मान लीजिए, रेखा (x - 2 = 0) का ढलान m1 है

तो,  m1 = ∞ 

और, रेखा  (√3x - y - 2 = 0) का ढलान m₂  है

तो, m2 = √3.

अब, दी गई रेखाओं के बीच का कोण θ है।

⇒

⇒

⇒

⇒ θ = 30°

अत: सही विकल्प 2 है।

Alternate Method

रेखा 1 के लिए: x - 2 = 0 इसलिए, x = 2

चूंकि यह एक लंबवत रेखा है, ढलान अपरिभाषित है।

अत: θ1 = 90°

रेखा 2 के लिए:

√3x - y - 2 = 0

इस समीकरण की तुलना y = mx + c से करें

यह y = √3x + 2 हो जाता है,

इसलिए, m = √3 = tan θ2

अत: θ₂ = = 60°

अब, दो रेखाओं के बीच प्रतिच्छेदन का आलेख इस प्रकार खींचा जा सकता है

अत: रेखाओं के बीच न्यून कोण = θ1 – θ2 = 90° – 60° = 30°

अवधारणा:

माना दो पंक्तियाँ क्रमशः a1, b1, c1 और a2, b2, c2 वाली।

लम्बवत्त रेखाओं के लिए शर्त: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

समानांतर रेखाओं के लिए शर्त:

गणना:

दी गई पंक्तियाँ निम्न हैं और

पहली पंक्ति का दिशा अनुपात (2k, 3, -1) है और दूसरी पंक्ति का दिशा अनुपात (8, 6, -2) है

लाइनें समानांतर हैं;

इसलिए,

⇒

∴ k = 2

अवधारणा:

दिशा अनुपात के साथ एक रेखा का समीकरण जो बिंदु (x1, y1, z1) से होकर गुजरता है, जो निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

गणना:

दिया गया है कि: रेखा का समीकरण 2x = 3y = 5 - 4z है

हम पहले उपरोक्त अभिव्यक्ति को तुलना के लिए मानक रूप में परिवर्तित करेंगे, अर्थात हमें क्रमशः x, y, और z, अर्थात् 2, 3 और 4 के गुणांक से समाप्त करने की आवश्यकता है।

2, 3, और 4 का LCM 12 

उपरोक्त समीकरण को 12 से विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

उपरोक्त समीकरण के साथ  की तुलना करने पर हमें मिलता है

⇒ a = 6, b = 4 और c = -3

तो, दी गई पंक्ति की दिशा अनुपात  है

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः  a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति:​ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं  और   हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (k, -3, -1) है। 

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (1, k, 4) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (k × 1) + (-3 × k) + (-1 × 4) = 0

⇒ k – 3k – 4 = 0

⇒ -2k – 4 = 0

∴ k = -2

संकल्पना:

रेखाओं के बीच का कोण:

रेखाओं के बीच का कोण  निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

, जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂ और c₂ दिशा अनुपात हैं। 

गणना:

दिया गया है:   और 

रेखाओं के दिशा अनुपात a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = 4 और a₂ = 1, b₂ = 2 , c₂ = -3 हैं। 

चूँकि हम जानते हैं, रेखाओं के बीच का कोण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है 

∴ θ = 90° 

धारणा:

एक समतल से एक बिंदु की लंबवत दूरी

हम कार्टेशियन समीकरण Ax + By + Cz = d द्वारा दिए गए एक समतल

और एक बिंदु जिसका निर्देशांक p (x1, y1, z1) है पर विचार करें

अब, दूरी = 

गणना:

हमें समतल x – 3y + 2z + 13 = 0 से बिंदु (1, 2, 3) की दूरी ज्ञात करनी है

दूरी 

 = √14

धारणा:

• समतल का अन्तःखंड रूप निम्न द्वारा दिया जाता है ⇔ 

जहाँ ‘a’ x- अन्तःखंड है, 'b' y- अन्तःखंड है और 'c' z- अन्तःखंड है।

गणना:

दिया हुआ:

समतल का समीकरण 5x + 2y + z – 13 = 0

⇒ 5x + 2y + z = 13

∴ अन्तःखंडों की लंबाइयाँ  इकाई हैं