Rotation with Constant Angular ACceleration MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Rotation with Constant Angular ACceleration - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है:

बल F = 10 N

त्रिज्या R = 0.2 m

कोणीय त्वरण α = 2 rad/s2

बलाघूर्ण τ = F × R = 10 × 0.2 = 2 N·m

संबंध: τ = Iα का उपयोग करने पर,

⇒ I = τ / α = 2 / 2 = 1 kg·m ²

अतः सही विकल्प (1) है।

गणना:
W_F = 20 × 1 = 20 J

इसलिए, ΔKE = 20 J = (1/2) I ω²

I = M R² = 10 × 0.1² = 0.1 kg m²

इसलिए, 20 = (1/2) × 0.1 × ω²

अर्थात, ω = 20 rad/sec

स्पष्टीकरण:

हमारे पास है $\theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$

यहाँ, ${\omega }_0=0$ , $\theta =5\text{rad}$ और $t=1\text{sec}$

$\Rightarrow 5=\frac{1}{2}\alpha \times 1^2\Rightarrow \alpha =10{\text{rad/s}}^2$

अब, ${\theta }_n=\frac{\alpha }{2}(2n-1)+{\omega }_0$

${\theta }_2=\frac{10}{2}(2\times 2-1)+0$

∴ ${\theta }_2=15\text{rad/sec}$

गणना:

ऊर्जा संरक्षण द्वारा,

mgh = (1/2) mv2 + (1/2)Iω

⇒ gh = v2/2 +ω2r2/4 ————(1)

चूँकि रस्सी अवितान्य है और यह फिसल भी नहीं रही है,

⇒ v = rω ——-(2)

समीकरण (1) और (2) से

⇒gh = ω2r2/2 + ω2r2/4

Vgh = (3/4) ω2r2

⇒ ω2 = 4gh/3r2

⇒ω= (1/r) )√4gh/3

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है: $\frac{1}{r}\sqrt{\frac{4gh}{3}}$

गणना:

τ = FR = Iα ⇒ 40 × 0.1 = 0.4 α

⇒α = 10 रेडियन/सेकेंड²

⇒W _f = 10 × 10 = 100 रेडियन/सेकेंड

∴ 10 सेकंड के बाद पहिये का कोणीय वेग 100 रेडियन/सेकेंड है।

गणना:

ऊर्जा संरक्षण द्वारा,

mgh = (1/2) mv2 + (1/2)Iω

⇒ gh = v2/2 +ω2r2/4 ————(1)

चूँकि रस्सी अवितान्य है और यह फिसल भी नहीं रही है,

⇒ v = rω ——-(2)

समीकरण (1) और (2) से

⇒gh = ω2r2/2 + ω2r2/4

Vgh = (3/4) ω2r2

⇒ ω2 = 4gh/3r2

⇒ω= (1/r) )√4gh/3

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है: $\frac{1}{r}\sqrt{\frac{4gh}{3}}$

अवधारणा:

• कोणीय वेग (ω): किसी निकाय की कोणीय स्थिति या अभिविन्यास कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है या किसी अन्य बिंदु के सापेक्ष कितनी तेजी से घूमता है या घूर्णन करता है इसे कोणीय वेग के रूप में जाना जाता है।
  • RPM के संदर्भ में कोणीय वेग (प्रति मिनट परिक्रमण)

ω = 2 π f / 60

जहां ω प्रति सेकंड रेडियन के संदर्भ में है और f  प्रति मिनट में परिक्रमण है।

• कोणीय त्वरण (α): कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को कोणीय त्वरण के रूप में जाना जाता है।

α और परिवर्तनशील ω के बीच का संबंध इस प्रकार है-

ω₁ = ω₀ + α t

जहां ω₁ अंतिम कोणीय वेग है,ω₀ प्रारंभिक कोणीय वेग है α कोणीय त्वरण है।

गणना:

दिया गया है:

f₀ = 1800 rpm;

f₁ = 3000 rpm;

t = 20 सेकंड

ω₀ = 2 π f₀ / 60 = 2 π 1800 / 60 = 60π 

ω₁ = 2 π f₁ / 60 = 2 π 3000 / 60 = 100π 

ω1 = ω0 + α t

100π = 60π + α 20

α = 2π rad/sec²

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

• α के नियत होने पर उपयोग किए जाने वाले तीन समीकरण

1. ω1 = ω0 + α t
2. θ = ω0t + 1/2 α t²
3. ω1² = ω0² + α t²

जहां ω₁ अंतिम कोणीय वेग है, ω₀ प्रारंभिक कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है और θ कोणीय विस्थापन है।

अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर पिंड के जड़त्व आघूर्ण को पिंड को निर्मित करने वाले कणों के द्रव्यमान और उनके घूर्णन अक्ष के सापेक्ष दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के रूप में  परिभाषित किया जाता है।
• एक कण का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है-

⇒ I = mr2

जहाँ r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों से बने पिंड का जड़त्व आघूर्ण (असतत वितरण)

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

व्याख्या:

दिया गया है:

कण का द्रव्यमान = m,

x-अक्ष से दूरी = b

• दूरी b पर एक अक्ष से द्रव्यमान m के कण के लिए जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार है-

⇒ I = mb²

• अतः विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

• एक निश्चित अक्ष के अनुरूप घूर्णी गति के लिए गतिज समीकरण इस प्रकार है-

$\Rightarrow \omega =\frac{d\theta }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{d\omega }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\omega \frac{d\omega }{d\theta }$

जहां ω तात्कालिक कोणीय वेग है, α तात्कालिक कोणीय त्वरण है, θ कोणीय विस्थापन है, और t समय है।

• एक निश्चित अक्ष के अनुरूप में नियत कोणीय त्वरण के साथ घूर्णी गति का गतिज समीकरण इस प्रकार है,

$\Rightarrow \omega ={\omega }_0+\alpha t$

$\Rightarrow \theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$

$\Rightarrow {\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \theta$

जहाँ ω₀ प्रारंभिक कोणीय वेग है, ω अंतिम कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है, θ कोणीय विस्थापन है, और t समय है।

• एक निश्चित अक्ष के अनुरूप घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए समीकरण है,

$\Rightarrow \tau =r\times F$

$\Rightarrow \tau =I\alpha$

जहाँ τ बलाघूर्ण है, r स्थिर अक्ष के परितः बल लगाने के बिंदु का स्थिति सदिश है, I जड़त्व का आघूर्ण है, और α कोणीय त्वरण है

बलाघूर्ण द्वारा किया गया कार्य,

$\Rightarrow dW=\tau d\theta$

जहाँ W किया गया कार्य है, τ बलाघूर्ण है, और θ कोणीय विस्थापन है।

• बलाघूर्ण द्वारा उत्पन्न शक्ति,

$\Rightarrow P=\tau \omega$

जहां P उत्पन्न शक्ति है, τ बलाघूर्ण और ω कोणीय वेग है।

व्याख्या:

• उल्लिखित सभी समीकरण सही हैं और नियत त्वरण के अधीन पिंडों को घुमाने के लिए इनका उपयोग किया जा सकता है। अतः विकल्प 4 सही है।

सही उत्तर विकल्प 1 है) अर्थात 1 रेडियन /सेकंड².

अवधारणा:

• कोणीय त्वरण: यह समय के संबंध में किसी पिंड के कोणीय वेग में परिवर्तन की दर है अर्थात

$\alpha =\frac{{\omega }_f-{\omega }_i}{t}$

जहाँ α = कोणीय त्वरण, ωf =अंतिम कोणीय वेग, ωi =प्रारंभिक कोणीय वेग, और t = समय

गणना:

दिया गया है,

प्रारंभिक कोणीय वेग, ω_i = 10 रेडियन /सेकंड

अंतिम कोणीय वेग, ω_f = 20 रेडियन /सेकंड

समय , t = 10 अंतिम कोणीय वेग

अत: ,

कोणीय त्वरण, α = (20-10)/10 रेडियन /सेकंड²

⇒ α = 1 रेडियन /सेकंड²

अवधारणा:

• कोणीय वेग (ω): समय के साथ किसी निकाय की कोणीय स्थिति या अभिविन्यास कितनी तेजी से बदलता है या कोई निकाय किसी अन्य बिंदु के सापेक्ष कितनी तेजी से घूमता है या परिक्रमण करता है उसे कोणीय वेग के रूप में जाना जाता है।
  •  RPM के संदर्भ में कोणीय वेग (प्रति मिनट चक्कर)

ω = 2 π f / 60

जहां ω प्रति सेकंड रेडियन के संदर्भ में है और f प्रति मिनट चक्कर में है।

• कोणीय त्वरण (α): कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को कोणीय त्वरण के रूप में जाना जाता है।

α और परिवर्तनशील ω के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया गया है:

ω1 = ω0 + α t

जहाँ ω1 अंतिम कोणीय वेग है, ω0 प्रारंभिक कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है और θ कोणीय विस्थापन है।

गणना:

दिया गया है:

f0 = 2100 rpm; f1 = 0 rpm; t = 2 सेकंड .

ω0 = 2 π f0 / 60 = 2 π 2100 / 60 = 70π 

ω1 = 0

ω1 = ω0 + α t

0 = 70π + α 2

α = -35π रेडियन/सेकंड2

तो सही उत्तर विकल्प 1 है।

• तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है जब α स्थिर है

1. ω1 = ω0 + α t
2. θ = ω0t + 1/2 α t2
3. ω12 = ω02 + α t2

जहाँ ω1 अंतिम कोणीय वेग है, ω0 प्रारंभिक कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है और θ कोणीय विस्थापन है।

अवधारणा:

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप में घूर्णी गति के शुद्धगतिक समीकरण है,

$\Rightarrow \omega =\frac{d\theta }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{d\omega }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\omega \frac{d\omega }{d\theta }$

जहां ω तात्कालिक कोणीय वेग है, α तात्कालिक कोणीय त्वरण है, θ कोणीय विस्थापन है, और t समय है।

• एक निश्चित अक्ष के अनुरूप नियत कोणीय त्वरण के साथ घूर्णी गति के गतिज शुद्धगतिक हैं,

$\Rightarrow \omega ={\omega }_0+\alpha t$

$\Rightarrow \theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$

$\Rightarrow {\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \theta$

जहाँ ω0 प्रारंभिक कोणीय वेग है, ω अंतिम कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है, θ

कोणीय विस्थापन है, और t समय है।

व्याख्या:

दिया गया है:

छड़ की लंबाई = L, और कोणीय त्वरण = α

तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,

$\Rightarrow {\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \theta$

$\Rightarrow {\omega }^2=0+2\alpha \times 2\pi$

$\Rightarrow \omega =\sqrt{4\alpha \pi }$

एवं, 

$\Rightarrow v=\omega r$

जहां v रैखिक गति है, ω कोणीय गति है, और r घूर्णन अक्ष से बिंदु की दूरी है।

$\Rightarrow v=\sqrt{4\alpha \pi }(L)$

• अतः विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• एक निश्चित अक्ष के अनुरूप  घूर्णी गति के गतिज समीकरण है,

⇒ $\omega ={\omega }_0+\alpha t$

⇒ $\theta ={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$

⇒ ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \theta$

जहाँ ω0 प्रारंभिक कोणीय वेग है , ω अंतिम कोणीय वेग है, α कोणीय त्वरण है, θ कोणीय विस्थापन है, और t समय है।

व्याख्या:

• मध्य बिंदु की गति, समीकरण का उपयोग करते हुए,

⇒ $v=r\omega$

जहां v रैखिक गति है, r अक्ष से बिंदु की दूरी है, और ω अंतिम कोणीय वेग है,

⇒ $v=\frac{L}{2}\omega$

• अतः विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

एक निश्चित अक्ष के अनुरूप  घूर्णी गति के गतिज समीकरण है,

$\Rightarrow \omega =\frac{d\theta }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{d\omega }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\omega \frac{d\omega }{d\theta }$

जहां ω तात्कालिक कोणीय वेग है, α तात्कालिक कोणीय त्वरण है, θ कोणीय विस्थापन है, और t समय है।

व्याख्या:

दिया गया है:

छड़ की लंबाई = L, और कोणीय विस्थापन θ = 2t2

• पहले समीकरण का उपयोग करने पर,

$\Rightarrow \omega =\frac{d\theta }{dt}$

$\Rightarrow \omega =\frac{d(2t^2)}{dt}=4t$

• दूसरे समीकरण का उपयोग करने पर

$\Rightarrow \alpha =\frac{d\omega }{dt}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{d(4t)}{dt}=4rad/s^2$

• अतः विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

• कोणीय विस्थापन (θ): किसी पिंड का कोणीय विस्थापन डिग्री या रेडियन में कोण है या परिक्रमण जिनके माध्यम से एक बिंदु एक बिंदु या अक्ष के चारों ओर घूमता है।
• कोणीय वेग (ω): समय के साथ किसी निकाय की कोणीय स्थिति या अभिविन्यास कितनी तेजी से बदलता है या कोई निकाय किसी अन्य बिंदु के सापेक्ष कितनी तेजी से घूमता है या परिक्रमण करता है उसे कोणीय वेग के रूप में जाना जाता है।
  • यह कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है
• कोणीय त्वरण (α): कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को कोणीय त्वरण के रूप में जाना जाता है।
• कोणीय संवेग (L): संवेग आघूर्ण को कोणीय संवेग कहते हैं।

गणना:

• कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को कोणीय त्वरण के रूप में जाना जाता है।

गणितीय रूप से,
$\alpha =\frac{d\omega }{dt}$

• तो सही उत्तर विकल्प 3 है।