Relations and Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Relations and Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

दशमलव को द्विआधारी में परिवर्तित करने पर

परावर्तन चरण:

• संख्या को 2 से विभाजित कीजिए। 
• अगले पुनरावृत्ति के लिए पूर्णाक भागफल प्राप्त कीजिए। 
• द्विआधारी अंक के लिए शेषफल प्राप्त कीजिए। 
• भागफल के 0 के बराबर होने तक चरणों को दोहराये। 

गणना:

∴ (45)₁₀ = 101101

गणना:

दिया गया है,

फलन है, जहाँ x और y के सभी वास्तविक मान हैं, और f(5) = 10 है।

हमें ज्ञात करना है:

दिए गए फलन समीकरण का उपयोग करके, हमारे पास है:

के लिए, हमें मिलता है:

के लिए, हमें मिलता है:

के लिए, हमें मिलता है:

इस प्रकार,

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन इस प्रकार है कि: x और y के सभी वास्तविक मानों के लिए,  और  है। 

हमें का मान ज्ञात करना है।

दिए गए फलन समीकरण में और प्रतिस्थापित करने पर:

चूँकि , हम निष्कर्ष निकालते हैं:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन निम्नलिखित फलन समीकरण को संतुष्ट करता है:

साथ ही, हमें दिया गया है कि:

हम f(4) की गणना करने के लिए फलन समीकरण का उपयोग करते हैं। x = 4 और y = 2 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन समीकरण को x और y के सभी धनात्मक वास्तविक मानों के लिए संतुष्ट करता है, और  है। 

हमें ज्ञात करना है।

के लिए, फलन समीकरण का उपयोग करने पर, हमारे पास है:

चूँकि  है, हम की गणना कर सकते हैं

अगला, ज्ञात करने के लिए, हम फिर से फलन समीकरण का उपयोग करते हैं:

चूँकि  है, हम  की गणना कर सकते हैं

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

फलन की अवधि:

यदि फलन को एक स्थिर अवधि में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 

इसे f(x) = f(x + T) की तरह दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है। 

sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है:​ 4cos3 x - 3cos x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 4cos3 x - 3cos x = cos 3x

cos x की अवधि 2π है। 

अतः cos 3x की अवधि  है। 

संकल्पना:

यदि f(x) सम फलन है तो f(-x) = f(x)

यदि f(x) विषम फलन है तो f(-x) = -f(x)

गणना:

दिया गया: f(x) = x2 + 4x + 4

x को -x से बदलें,

⇒ f(-x) = (-x)2 + 4(-x) + 4

= x2 - 4x + 4                       (∵ (-x)2 = x2)

⇒ f(-x) ≠ ± f(x)

इसलिए फलन न तो विषम है और न ही सम।

संकल्पना:

• व्युत्क्रम फलन:

माना कि f: A → B एकैकी और आच्छादक (एकैकी आच्छादी) फलन है। तो f^-1 मौजूद है जो एक फलन f^-1: B → A है, जो एक तत्व के साथ प्रत्येक तत्व b ∈ B को प्रतिचित्रित करता है। 

a ∈ A इस प्रकार है जिससे f(a) = b को f: A → B का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है। 

• व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि:

माना कि f: A → B एकैकी आच्छादी फलन है। 

चरण - I f(x) = y रखिए

चरण - II y के संदर्भ में x प्राप्त करने के लिए समीकरण y = f (x) को हल कीजिए। 

दिए गए फलन f का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए x और y को परस्पर परिवर्तित कीजिए। 

गणना:

दिया गया है: 

माना कि y = f(x) = 2x + 1 / x + 7

⇒ xy + 7y = 2x + 1

⇒ 7y – 1 = 2x – xy

⇒ x(2 - y) = 7y – 1

⇒ x = (7y - 1) / (2 - y)

⇒ f^-1 (x) = 

संकल्पना:

एक फलन की अवधि:

• यदि फलन एक स्थिर अवधि पर दोहराती है तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 
• इसे f(x) = f(x + T) के रूप में दर्शाया गया है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है।
• sin x और cos x की अवधि 2π है। 

गणना:

ज्ञात करना है: 3sin x - 4sin3 x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 3sin x - 4sin3 x = sin 3x

 sin x की अवधि 2π है। 

अतः sin 3x की अवधि  है। 

अवधारणा:

लघुगणक गुण:

गुणनफल नियम: किसी गुणनफल का लॉग दो लॉग के योग के बराबर होता है।

भागफल नियम: एक भागफल का लॉग दो लॉग के अंतर के बराबर होता है।

घात नियम: घात के लॉग में घातांक गुणांक बन जाता है।

लघुगणक का सूत्र:

यदि  तो x = ab (यहाँ a ≠ 1 और a > 0)

गणना:

दिया हुआ: 

        (∵ )

               (∵ ) 

संकल्पना:

परास: एक फलन की परास उन सभी संभव मानों का समूह जिसे यह उत्पादित कर सकता है अर्थात् y के सभी मानों के लिए जिसके लिए x परिभाषित होता है। 

नोट:

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की परास f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

माना कि, y = f(x) =  है। 

⇒y(x - 3) = x + 1

⇒yx - 3y - x = 1

⇒ x(y - 1) - 3y = 1

⇒ x(y - 1) = 1 + 3y

⇒

यह स्पष्ट है कि y - 1 = 0 अर्थात y = 1 होने पर x परिभाषित नहीं है। 

∴ सीमा (f) = R - {1}

अतः विकल्प (2) सही है।

Mistake Pointsप्रश्न में दिया गया है कि f(x) वास्तविक फलन है। इसलिए,

f(x) में x = 3 के अलावा x के मान के लिए वास्तविक मान हैं

∴ दिए गए फलन का डोमेन = R - {3}, जहाँ R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

संकल्पना:

sin-1 x का डोमेन [-1, 1] है

एक असमानता के दोनों पक्षों से समान राशि को जोड़ने या घटाने पर अपरिवर्तित असमान चिन्ह छोड़ता है। 

गणना:

दिया गया है: f(x) = sin-1 (x + 1) 

चूँकि हम जानते हैं, sin1 x का डोमेन [-1, 1] है

इसलिए, -1 ≤ (x + 1) ≤ 1

उपरोक्त असमानता में 1 को घटाने पर,

⇒ -1 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 1 - 1

⇒ -2 ≤ x ≤ 0

∴ sin-1 (x + 1) का डोमेन [-2, 0] है

Mistake Points[-2, 0] [-2, 0] से अलग है। '[' and ']' इंगित करता है कि अंतिम संख्या (2 और 0) भी शामिल है। '(' and ')' इंगित करता है कि 2 और 0 को ध्यान में नहीं रखा गया है।

संकल्पना:

• (x + y)(x - y) = x² - y²

गणना:

दिया गया है: f(x) = ln (x + ),__(i)

(i) में x को (-x) से प्रतिस्थापित करने पर,

⇒  f(-x) = ln (-x + ),

⇒  f(-x) = ln (-x + ),

ln फलन के अंदर (x + ) से गुणा और भाग करने पर,

⇒  f(-x) =  ,

⇒  f(-x) =  ,

⇒  f(-x) =  ,

⇒  f(-x) =  ,

(i) से,

⇒  f(-x) =  - f(x)\

⇒  f(-x) + f(x) = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

1. फलन का डोमेन:

• एक फलन का डोमेन स्वतंत्र चर के सभी संभव मानों का समूह होता है। वह एक फलन के लिए सभी संभव इनपुट होता है।

गणना:

माना कि दिया गया फलन अंश और हर के रूप में है। फलन हर के सभी गैर शून्य मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होगा। 

इसलिए,  का अर्थ है कि .

उसीप्रकार वर्गमूल फलन सभी गैर-ऋणात्मक मानों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है। 

इसलिए,  0\) का अर्थ है कि  2.\)

अतः दिए गए फलन का डोमेन है।