Random Variables & Distribution Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Random Variables & Distribution Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 11, 2025

पाईये Random Variables & Distribution Functions उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Random Variables & Distribution Functions MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Random Variables & Distribution Functions MCQ Objective Questions

Random Variables & Distribution Functions Question 1:

मान लीजिए X और Y संयुक्त रूप से वितरित संतत यादृच्छिक चर हैं जिनका संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन \(\rm f(x, y)=\left\{\begin{matrix}\frac{x}{y}, & if\ 0है।

निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?

  1. P(X<12|Y=1)=14
  2. E(Y) = 14
  3. P(X<Y2)=14
  4. E(YX)=14

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Random Variables & Distribution Functions Question 1 Detailed Solution

सही उत्तर (1) और (3) हैं।

हम बाद में हल अपडेट करेंगे।

Random Variables & Distribution Functions Question 2:

माना कि {Xn}n≥1 स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम है जहाँ E(X1) = 0 और Var(X1) = 1 है। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?

  1. limnP(nΣi=1nXiΣi=1nXi20)=12
  2. Σi=1nXiΣi=1nXi2 प्रायिकता में 0 के रूप में अभिसरण करता है चूँकि n → ∞
  3. 1nΣi=1nXi2 प्रायिकता में 1 के रूप में अभिसरण करता है चूँकि n → ∞
  4. limnP(Σi=1nXin0)=12

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Random Variables & Distribution Functions Question 2 Detailed Solution

संप्रत्यय:

1. बृहत्‌ संख्याओं का नियम (LLN):

बृहत्‌ संख्याओं का नियम कहता है कि जैसे प्रतिदर्श आकार n बढ़ता है, i.i.d. के प्रतिदर्श औसत (या योग) यादृच्छिक चर चर के अपेक्षित मान में अभिसरण करता है। उदाहरण के लिए, विकल्प 3 में, 1ni=1nXi2

अपेक्षित मान E(X12)=1 में अभिसरण करता है, क्योंकि X1 का प्रसरण 1 है।

2. केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT):

केंद्रीय सीमा प्रमेय हमें बताता है कि परिमित माध्य और प्रसरण वाले i.i.d. यादृच्छिक चरों का योग (या स्केल किया हुआ औसत) वितरण में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है जैसे n। उदाहरण के लिए, विकल्प 4 में, i=1nXin एक मानक प्रसामान्य यादृच्छिक चर की तरह व्यवहार करता है चूँकि n, N(0, 1) में अभिसरण करता है।

3. प्रायिकता सीमाएँ:

कुछ यादृच्छिक चरों के लिए, उनका वितरण एक निश्चित प्रायिकता मान में अभिसरण करता है। विकल्प 1 और 4 में,

मानकीकृत योग के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता 12 में अभिसरण करती है, जो एक मानक प्रसामान्य चर के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता है।

व्याख्या:

विकल्प 1: इस व्यंजक में दो पदों का अनुपात शामिल है: ni=1nXiऔरi=1nXi2.

अंश,ni=1nXi, केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा O(n) की तरह बढ़ता है क्योंकि माध्य शून्य और प्रसरण 1 वाले i.i.d. यादृच्छिक चरों का योग सामान्य वितरण रखता है।

हर, i=1nXi2 , O(n) की तरह बढ़ता है क्योंकि यह प्रसरण 1 वाले i.i.d. यादृच्छिक चरों के वर्गों का योग है।

चूँकि n, अनुपात ni=1nXii=1nXi2 शून्य की ओर जाता है, इसलिए प्रायिकता यादृच्छिक चर के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता में अभिसरण करती है। इसलिए, विकल्प 1 सत्य है, और सीमा 1/2 होगी क्योंकि यह बड़े n के अंतर्गत एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर बन जाता है।

विकल्प 2: अंश i=1nXi O(n) की तरह व्यवहार करता है, और प्रत्येक i=1nXi2 O(n) की तरह व्यवहार करता है। इसलिए, अनुपात i=1nXii=1nXi2 O(1/n) की तरह व्यवहार करता है और 0 में अभिसरण करता है जैसे n। इस प्रकार, विकल्प 2 सत्य है।

विकल्प 3: बृहत्‌ संख्याओं का नियम (LLN) द्वारा, i.i.d. यादृच्छिक चरों के वर्गों का औसत X12 के अपेक्षित मान में अभिसरण करता है, जो 1 है, जैसे n। इस प्रकार, विकल्प 3 सत्य है।

विकल्प 4:

केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) द्वारा, i=1nXin वितरण में एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर N(0, 1) में अभिसरण करता है।

एक मानक सामान्य चर के 0 से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता P(Z0)=12 है। इसलिए, विकल्प 4 सत्य है।

चारों विकल्प सही हैं।

Random Variables & Distribution Functions Question 3:

मान लीजिए X1....X12, N(2, 4) बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है और Y1...Y15, N(-2, 5) बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ N(μ, σ2) माध्य μ और प्रसरण σ2 वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। मान लें कि दो यादृच्छिक प्रतिदर्श परस्पर स्वतंत्र हैं। मान लीजिए X¯=112Σi=112Xi,S12=111Σi=112(XiX¯)2, Y¯=115Σj=115Yi,S22=114Σj=115(YiY¯)2

निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?

  1. X̅ + Y̅ का बंटन N(0,23) है। 
  2. 120(55S12+56S22) का बंटन χ262 है। 
  3. 54S12S22 का बंटन F11, 14 है। 
  4. 23(Y¯+2)S1 का बंटन t14 है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Random Variables & Distribution Functions Question 3 Detailed Solution

संप्रत्यय:

प्रतिदर्श माध्य एक प्रतिदर्श में डेटा बिंदुओं का औसत देता है, और प्रतिदर्श प्रसरण डेटा के प्रसार को मापता है।

प्रसामान्य बंटन एक सतत प्रायिकता बंटन है जो माध्य के चारों ओर सममित है, ज्यादातर मान केंद्र के आसपास समूहीकृत होते हैं।

व्याख्या:

विकल्प 1: X¯ का माध्य 2 है और Y¯ का माध्य -2 है। इस प्रकार, X¯+Y¯ का माध्य है

E[X¯+Y¯]=2+(2)=0

स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए प्रसरण जुड़ते हैं:

Var(X¯)=σ2n=412=13,Var(Y¯)=515=13

इसलिए, X¯+Y¯ का प्रसरण है Var(X¯+Y¯)=Var(X¯)+Var(Y¯)=13+13=23

इस प्रकार, X¯+Y¯ का बंटन N(0,23) के रूप में है। यह कथन सत्य है।

विकल्प 2: S12 और S22 स्वतंत्र काई-वर्ग यादृच्छिक चर हैं जो अपने संबंधित स्वातंत्र्य कोटि से विभाजित हैं।

S12 के लिए स्वातंत्र्य कोटि 11 है और S22 के लिए 14 है।

भारित योग सीधे काई-वर्ग बंटन का पालन नहीं करता है। स्वातंत्र्य की संयुक्त कोटि 11 + 14 = 25 होगी, 26 नहीं। यह कथन असत्य है।

विकल्प 3: अनुपात S12S22 का बंटन F11,14 के रूप में है क्योंकि यह दो स्वतंत्र काई-वर्ग चरों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है जो अपने संबंधित स्वातंत्र्य कोटि से विभाजित हैं। एक स्थिरांक (इस मामले में, 54) से गुणा करने से F-बंटन का रूप नहीं बदलता है, केवल इसका पैमाना बदलता है। यह कथन सत्य है।

विकल्प 4: Y¯ का माध्य -2 है। Y¯ का बंटन N(2,515)=N(2,13) है।

मात्रा Y¯ - 2 माध्य को -4 तक स्थानांतरित करती है। एक प्रसामान्य बंटन को स्केल करने से t-बंटन प्राप्त नहीं होता है।

इसके बजाय, 23(Y¯2) एक प्रसामान्य बंटन देता है, t-बंटन नहीं। यह कथन असत्य है।

इसलिए, विकल्प 1) और 3) सही हैं।

Random Variables & Distribution Functions Question 4:

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका संचयी बंटन फलन (CDF) निम्न द्वारा दिया गया है: F(x)={0, if x<0 x+13, if 0x<1 1, if x1 तब \(\rm P\left(\frac{1}{3} का मान किसके बराबर है?

  1. 736
  2. 1136
  3. 1336
  4. 1736

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1736

Random Variables & Distribution Functions Question 4 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c+) - F(c-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = {0,यदि x<0x+13,यदि 0x<11,यदि x1

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें F(34)और F(13) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि 013<1 और 034<1 , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र F(x)=x+13 का उपयोग करते हैं:

F(13)=13+13=433=49

F(34)=34+13=743=712

इस प्रकार, प्रायिकता P(13<X34) है:

P(13<X34)=F(34)F(13)=71249

= 21361636=536

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0+) - F(0-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0+) = F(0) =0+13=13

⇒ F(0-) = 0

इस प्रकार, P(X=0)=F(0+)F(0)=130=13=1236

 

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

P(13<X34)+P(X=0)=536+1236=1736

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

Random Variables & Distribution Functions Question 5:

(Xn, n ≥ 1) तथा X किसी प्रायिकता समष्टि पर यादृच्छिक चर हैं। मानिए कि Xn का X में अभिसरण प्रायिकता में होता है। निम्न में से कौन - से सत्य है?

  1. E (|XnX|2) → 0
  2. P(Xn ≤ x) → P(X ≤ x) सभी x ∈ ℝ
  3. E (Min(1, |XnX|)) → 0
  4. प्रायिकता 1 के साथ |XnX|0

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Random Variables & Distribution Functions Question 5 Detailed Solution

सही उत्तर विकल्प 3 है

हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।

Top Random Variables & Distribution Functions MCQ Objective Questions

निम्न में से कौन-सा फलन एक वैध संचयी बंटन है?

  1. F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+x2 if x0
  2. F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+2x2 if x0
  3. F(x) = {12+x2 if x<02cos(x)+x24+x2 if x0
  4. F(x) = {12+x2 if x<0,1+x24+x2 if x0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+x2 if x0

Random Variables & Distribution Functions Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) limxF(x) = 0, limxF(x) = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+2x2 if x0

limxF(x) = limx2+x23+2x2 = limx2x4x = 12 (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) = {12+x2 if x<02cos(x)+x24+x2 if x0

limxF(x) = limx2cosx+x24+x2

= limx2sinx+2x2x (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= limx(sinxx+1) - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) = {12+x2 if x<0,1+x24+x2 if x0

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और 12>14 इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है

इसलिए विकल्प (1) सही है।

मानें कि X, λ माध्य वाला प्वासों यादच्छिक चर है। निम्न में से कौन-सा प्राचलिक फलन आकलनीय नहीं है?

  1. λ−1
  2. λ
  3. λ2
  4. e−λ​

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : λ−1

Random Variables & Distribution Functions Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X2) = [E(X)]2 + Var(X) = λ2 + λ

इसलिए E(X2 - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E((1)xλxx!) = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) = ((1)xλxx!)

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका संचयी बंटन फलन (CDF) निम्न द्वारा दिया गया है: F(x)={0, if x<0 x+13, if 0x<1 1, if x1 तब \(\rm P\left(\frac{1}{3} का मान किसके बराबर है?

  1. 736
  2. 1136
  3. 1336
  4. 1736

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1736

Random Variables & Distribution Functions Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c+) - F(c-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = {0,यदि x<0x+13,यदि 0x<11,यदि x1

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें F(34)और F(13) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि 013<1 और 034<1 , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र F(x)=x+13 का उपयोग करते हैं:

F(13)=13+13=433=49

F(34)=34+13=743=712

इस प्रकार, प्रायिकता P(13<X34) है:

P(13<X34)=F(34)F(13)=71249

= 21361636=536

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0+) - F(0-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0+) = F(0) =0+13=13

⇒ F(0-) = 0

इस प्रकार, P(X=0)=F(0+)F(0)=130=13=1236

 

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

P(13<X34)+P(X=0)=536+1236=1736

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

माना कि X1, X2, ... i.i.d. यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन है तथा स्वतंत्रता की कोटि 5 है। माना कि a ∈ Rअचर है। तब a(X1++Xn5nn)का सीमांत बंटन है:

  1. a के उपयुक्त मान के लिए गामा बंटन
  2. a के उपयुक्त मान के लिए χ2-बंटन
  3. a के उपयुक्त मान के लिए मानक प्रसामान्य बंटन,
  4. a के उपयुक्त मान के लिए अपभ्रष्ट बंटन

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : a के उपयुक्त मान के लिए मानक प्रसामान्य बंटन,

Random Variables & Distribution Functions Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

दिया गया है:-

X1, X2, ... स्वतंत्र और समान रूप से बंटित यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन 5 स्वातंत्र्य कोटि के साथ है।

प्रयुक्त अवधारणा:-

केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग करके दिए गए व्यंजक का सीमांत बंटन ज्ञात किया जा सकता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि कई स्वतंत्र और समान रूप से बंटित यादृच्छिक चरों का योग, उचित रूप से प्रसामान्यीकृत, बंटन में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है।

व्याख्या:-

यहाँ, हमारे पास n स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चर हैं जिनका χ2-बंटन 5 स्वातंत्र्य कोटियों के साथ है।

प्रत्येक χ2-बंटित चर का माध्य 5 है और प्रसरण है,

2 x 5 = 10

इसलिए, ऐसे n चरों के योग का माध्य n5 है, और प्रसरण है,

⇒ प्रसरण = (n × 10)

हम माध्य को घटाकर और मानक विचलन से विभाजित करके व्यंजक को प्रसामान्यीकृत कर सकते हैं। अर्थात्,

a[(X1+X2+...+Xn5n)n×10]

=(a10)[(X1+X2+...+Xn5n)n]n

दाहिने पक्ष की ओर कोष्ठक में पद 0 के माध्य और 1/2 के प्रसरण के साथ n, स्वतंत्र और समान रूप से बंटित (i.i.d.) यादृच्छिक चरों का योग है।

इसलिए, CLT द्वारा, यह पद बंटन में एक मानक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है क्योंकि n अनंत तक जाता है।

समग्र व्यंजक बंटन में एक प्रसामान्य बंटन में अभिसरण करता है जिसका माध्य शून्य और प्रसरण a2/10 है।

इसलिए, a(X1++Xn5nn) का सीमांत बंटन a के उपयुक्त मान के लिए मानक प्रसामान्य बंटन है।

अतः सही विकल्प 3 है।

Random Variables & Distribution Functions Question 10:

n ≥ p +1 के लिए, मान लीजिए कि X1,X2,,Xn एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जोकि Np(μ,Σ),μRp से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है और Σ एक धनात्मक निश्चित आव्यूह है। X¯=1ni=1nXi और A=i=1n(XiX¯)(XiX¯)T को परिभाषित कीजिए। फिर अनुरेख(AΣ -1 ) का बंटन है:

  1. Wp(n - 1, Σ) 
  2. χp2
  3. χnp2
  4. χ2(n - 1)p

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : χ2(n - 1)p

Random Variables & Distribution Functions Question 10 Detailed Solution

सही उत्तर विकल्प 4 है। 

हम यथाशीघ्र हल अपडेट करेंगे।

Random Variables & Distribution Functions Question 11:

मानें कि X ऐसा यादृच्छिक चर है कि P(X ∈ {0, 1, 2}) = 1. यदि किसी स्थिरांक c के लिए P(X = i) = cP (X = i - 1), i = 1, 2, तब E[X] है

  1. 11+c+c2
  2. c+2c21+c+c2
  3. c+c21+2c
  4. 3c1+2c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : c+2c21+c+c2

Random Variables & Distribution Functions Question 11 Detailed Solution

सही उत्तर विकल्प 2 है

हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।

Random Variables & Distribution Functions Question 12:

निम्न में से कौन-सा फलन एक वैध संचयी बंटन है?

  1. F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+x2 if x0
  2. F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+2x2 if x0
  3. F(x) = {12+x2 if x<02cos(x)+x24+x2 if x0
  4. F(x) = {12+x2 if x<0,1+x24+x2 if x0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+x2 if x0

Random Variables & Distribution Functions Question 12 Detailed Solution

अवधारणा:

मान लें कि F(x) एक संचयी वितरण फलन है तो

(i) limxF(x) = 0, limxF(x) = 1

(ii) F एक गैर-ह्रासमान फलन है

स्पष्टीकरण:

(2): F(x) = {12+x2 if x<0,2+x23+2x2 if x0

limxF(x) = limx2+x23+2x2 = limx2x4x = 12 (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके), संतुष्ट नहीं करता

विकल्प (2) गलत है

(3): F(x) = {12+x2 if x<02cos(x)+x24+x2 if x0

limxF(x) = limx2cosx+x24+x2

= limx2sinx+2x2x (एल'हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

= limx(sinxx+1) - 1 + 1 = 0, संतुष्ट नहीं

विकल्प (3) गलत है

(4): F(x) = {12+x2 if x<0,1+x24+x2 if x0

f(0-) = 1/2 और f(0+) = 1/4 और 12>14 इसलिए F(x) गुण "F एक गैर-ह्रासमान फलन है" को संतुष्ट नहीं करता है

विकल्प (4) गलत है

इसलिए विकल्प (1) सही है।

Random Variables & Distribution Functions Question 13:

मानें कि X, λ माध्य वाला प्वासों यादच्छिक चर है। निम्न में से कौन-सा प्राचलिक फलन आकलनीय नहीं है?

  1. λ−1
  2. λ
  3. λ2
  4. e−λ​

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : λ−1

Random Variables & Distribution Functions Question 13 Detailed Solution

अवधारणा:

एक प्राचलिक फलन f(λ) को अनुमानित कहा जाता है यदि g(X) मौजूद है जैसे कि E(g(X)) = f(λ) अन्यथा इसे अनुमानित नहीं कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है कि X एक प्वासों यादृच्छिक चर है जिसका माध्य λ है

इसलिए E(X) = λ और Var(X) = λ

हमें वह प्राचलिक फलन ज्ञात करना है जो अनुमानित नहीं है।

(2): E(X) = λ तो यहां हमें एक फलन g(X) = X मिल रहा है।

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (2) गलत है।

(3): E(X2) = [E(X)]2 + Var(X) = λ2 + λ

इसलिए E(X2 - X) = E(X2) - E(X) = λ2 + λ - λ = λ2

यहां हमें फलन g(X) = X2 - X मिल रहा है

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (3) गलत है।

(4): E((1)xλxx!) = e−λ​

यहां हमें फलन g(X) = ((1)xλxx!)

इसलिए यह अनुमानित है

विकल्प (4) गलत है।

इसलिए विकल्प (1) सही है।

Random Variables & Distribution Functions Question 14:

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जिसका संचयी बंटन फलन (CDF) निम्न द्वारा दिया गया है: F(x)={0, if x<0 x+13, if 0x<1 1, if x1 तब \(\rm P\left(\frac{1}{3} का मान किसके बराबर है?

  1. 736
  2. 1136
  3. 1336
  4. 1736

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1736

Random Variables & Distribution Functions Question 14 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणाएँ:

1. संचयी बंटन फलन (CDF):

CDF F(x) उस प्रायिकता को देता है कि यादृच्छिक चर X का मान x से कम या उसके बराबर है। अर्थात्, F(x) = P(X ≤ x) है। 

2. CDF का उपयोग करके प्रायिकता ज्ञात करें:

यह प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X एक निश्चित अंतराल (a, b] में स्थित है, निम्न द्वारा दी जाती है:

P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

3. एक विशिष्ट बिंदु पर प्रायिकता (जम्प असांतत्य):

किसी विशिष्ट बिंदु x = c पर प्रायिकता, c के ठीक दाईं ओर और ठीक बाईं ओर CDF में अंतर है:

P(X = c) = F(c+) - F(c-)

व्याख्या -

हमें एक यादृच्छिक चर X का संचयी बंटन फलन (CDF) F(x) दिया गया है:

F(x) = {0,यदि x<0x+13,यदि 0x<11,यदि x1

CDF से प्रायिकता की परिभाषा से: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)

इस स्थिति में, हमें F(34)और F(13) की गणना करने की आवश्यकता है।

चूँकि 013<1 और 034<1 , हम दोनों 1/3 और 3/4 के लिए सूत्र F(x)=x+13 का उपयोग करते हैं:

F(13)=13+13=433=49

F(34)=34+13=743=712

इस प्रकार, प्रायिकता P(13<X34) है:

P(13<X34)=F(34)F(13)=71249

= 21361636=536

किसी बिंदु पर प्रायिकता उस बिंदु पर CDF में जम्प है। हमें F(0+) - F(0-) की गणना करने की आवश्यकता है।

CDF परिभाषा से: F(0+) = F(0) =0+13=13

⇒ F(0-) = 0

इस प्रकार, P(X=0)=F(0+)F(0)=130=13=1236

 

अब, हम दो परिणामों को जोड़ते हैं:

P(13<X34)+P(X=0)=536+1236=1736

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 17/36 है।

Random Variables & Distribution Functions Question 15:

मान लीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर X एक समान (0, 4) बंटन का पालन करता है। अब Y=(X) को परिभाषित करें। निम्नलिखित में से कौन से कथन X और Y के लिए सटीक नहीं हैं?

  1. Y का परिसर [0, 2] है। 
  2. X और Y दोनों का माध्य समान है। 
  3. X का प्रसरण Y के प्रसरण से अधिक है। 
  4. Y का बंटन भी समान है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option :

Random Variables & Distribution Functions Question 15 Detailed Solution

व्याख्या -

एक यादृच्छिक चर X के लिए जो एक समान (0, 4) बंटन का पालन करता है, X समान प्रायिकता के साथ 0 और 4 के बीच कोई भी मान लेगा।

परिभाषित Y=(X) 0 से 2 तक होगा।

विकल्प (1) - Y का परिसर [0, 2] है

यह कथन सत्य है। Y=(X) 0 (X=0 के लिए) और 2 (X=4 के लिए) के बीच मान लेगा।

विकल्प (2) - X और Y दोनों का माध्य समान है

यह कथन सत्य नहीं है। एक समान बंटन में, माध्य (a + b) / 2 द्वारा दिया जाता है।

X का माध्य (0+4)/2 = 2 होगा, और Y का माध्य (0+2)/2 = 1 होगा, इसलिए उनका माध्य समान नहीं है।

विकल्प (3) - X का प्रसरण Y के प्रसरण से अधिक है

यह कथन सत्य है। प्रसरण माध्य से विचलन को मापता है, और चूँकि X व्यापक परिसर (0 से 4, Y के लिए 0 से 2 के विपरीत) में मान ले सकता है, इसलिए इसका प्रसरण आम तौर पर अधिक होगा।

विकल्प (4) - Y का बंटन भी समान है

यह कथन सत्य नहीं है। जब हम (X) जैसे परिवर्तन को लागू करते हैं, तो परिणामी बंटन Y X के समान गुण को बरकरार नहीं रखेगा।

इसलिए, कथन B और D सत्य नहीं हैं।

इसलिए, सही विकल्प 2 और 4 हैं।

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti master list teen patti vip teen patti earning app