Method of Separation of Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Method of Separation of Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

द्वितीय कोटि के समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप है

Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0

इसलिए, x2uxy + 3y2u = 0 भी रैखिक है (A = 0, B = x2, C =0, D = 0, E = 0, F = 3y2, G = 0)

विकल्प 1 सही नहीं है:

मान लीजिये u(x, y) = X(x)Y(y) दिए गए आंशिक अवकल समीकरण का एक हल है

x²u_xy + 3y²u = 0, प्रारंभिक प्रतिबंध u(x,0) = e^1/x के साथ

तब, x²X'Y' + 3y²u = 0

⇒ x²X'Y' = - 3y²u

⇒ x² $\frac{X^{\prime }}{X}=-3y^2\frac{Y}{Y^{\prime }}=k$

⇒ $\frac{X^{\prime }}{X}=\frac{k}{x^2}$ और $-3y^2\frac{Y}{Y^{\prime }}=k$

⇒ $\ln X=-\frac{k}{x}+C_1$ और $-\frac{3y^2}{k}=\frac{Y^{\prime }}{Y}$

⇒ $X=C_1{e}^{-\frac{k}{x}}$ और $Y=C_2{e}^{-\frac{y^3}{k}}$

⇒ $u(x,y)=C_1{e}^{\frac{-k}{x}}\cdot C_2{e}^{\frac{-y^3}{k}}=C{e}^{-\frac{k}{x}}\cdot e^{-\frac{y^3}{k}}$

जहाँ $C=C_1{C}_2$

अब, u(x,0) = e^1/x का उपयोग करते हुए

C = 1, k = -1

$\therefore u(x,y)=e^{\frac{1}{x}}\cdot e^{y^3}$

इसलिए $u(1,1)=e^1\cdot e^{1^3}=e^2$

विकल्प 2 सही है और विकल्प 3 गलत है।

चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग किया गया है।

विकल्प 4 सही है:

सही उत्तर विकल्प 2 और 4 हैं।

व्याख्या:

द्वितीय कोटि के समघात रैखिक आंशिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप है

Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0

इसलिए, x2uxy + 3y2u = 0 भी रैखिक है (A = 0, B = x2, C =0, D = 0, E = 0, F = 3y2, G = 0)

विकल्प 1 सही नहीं है:

मान लीजिये u(x, y) = X(x)Y(y) दिए गए आंशिक अवकल समीकरण का एक हल है

x²u_xy + 3y²u = 0, प्रारंभिक प्रतिबंध u(x,0) = e^1/x के साथ

तब, x²X'Y' + 3y²u = 0

⇒ x²X'Y' = - 3y²u

⇒ x² $\frac{X^{\prime }}{X}=-3y^2\frac{Y}{Y^{\prime }}=k$

⇒ $\frac{X^{\prime }}{X}=\frac{k}{x^2}$ और $-3y^2\frac{Y}{Y^{\prime }}=k$

⇒ $\ln X=-\frac{k}{x}+C_1$ और $-\frac{3y^2}{k}=\frac{Y^{\prime }}{Y}$

⇒ $X=C_1{e}^{-\frac{k}{x}}$ और $Y=C_2{e}^{-\frac{y^3}{k}}$

⇒ $u(x,y)=C_1{e}^{\frac{-k}{x}}\cdot C_2{e}^{\frac{-y^3}{k}}=C{e}^{-\frac{k}{x}}\cdot e^{-\frac{y^3}{k}}$

जहाँ $C=C_1{C}_2$

अब, u(x,0) = e^1/x का उपयोग करते हुए

C = 1, k = -1

$\therefore u(x,y)=e^{\frac{1}{x}}\cdot e^{y^3}$

इसलिए $u(1,1)=e^1\cdot e^{1^3}=e^2$

विकल्प 2 सही है और विकल्प 3 गलत है।

चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग किया गया है।

विकल्प 4 सही है:

सही उत्तर विकल्प 2 और 4 हैं।