Locus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Locus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

α = 3k + 2

2β = 3h - a = 3h - 3k - 2

इसलिए, AB = 8

⇒

⇒

⇒ 9[(3k - h + 2)² + 4(k + 2)²] = 64 x 4

⇒ 9(x² + 13y² - 6xy - 4x + 28y) = 76

α - β - γ = 13 + 6 + 4 = 23

अतः विकल्प 2 सही है। 

दिया गया है:

रेखाएँ: और

चर रेखा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है।

X-अक्ष को A और Y-अक्ष को B पर प्रतिच्छेद करती है।

बिंदु P, AB को अनुपात -2:3 में विभाजित करता है।

गणना

1) और का प्रतिच्छेदन:

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:

दूसरे समीकरण को घटाएँ: ⇒

में प्रतिस्थापित करें:

⇒ ⇒

प्रतिच्छेद बिंदु:

2) चर रेखा का समीकरण:

3) A और B के निर्देशांक:

A (x-अंतःखंड, y=0): ⇒ ⇒

B (y-अंतःखंड, x=0): ⇒ ⇒

4) P (h, k) के निर्देशांक:

विभाजन सूत्र:

⇒ ⇒

⇒

5) m के व्यंजकों को समान करें:

⇒

⇒

6) P (h, k) का बिंदुपथ:

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संप्रत्यय:

रेखाओं का प्रतिच्छेदन और मध्यबिंदु:

• इस समस्या में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन और प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना शामिल है।
• हमें दो रेखाएँ दी गई हैं: 3x - 2y - 1 = 0 और x + 2y + 1 = 0, और हमें रेखा L का समीकरण ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बने खंड AB को समद्विभाजित करती है।
• हमें बिंदु (1, 2) भी दिया गया है, जो रेखाखंड AB का मध्यबिंदु है, और हमें a + 2b + 1 का मान ज्ञात करने के लिए कहा गया है, जहाँ रेखा का समीकरण (a/b)x + (b/a)y = 1 के रूप में दिया गया है।

गणना:

दिया गया है,

दो रेखाएँ हैं:

3x - 2y - 1 = 0 (समीकरण 1)

x + 2y + 1 = 0 (समीकरण 2)

चरण 1: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों को एक साथ हल करते हैं।

समीकरण 2 से, y के लिए हल करना:

y = -(x + 1)/2

इसे समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करें:

3x - 2(-(x + 1)/2) - 1 = 0

3x + (x + 1) - 1 = 0

4x = 0

x = 0

y ज्ञात करने के लिए समीकरण 2 में x = 0 प्रतिस्थापित करें:

0 + 2y + 1 = 0

2y = -1

y = -1/2

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु A (0, -1/2) है।

चरण 2: मध्यबिंदु ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि बिंदु (1, 2) रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है। मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके, हम जानते हैं:

AB का मध्यबिंदु = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

मान लीजिए बिंदु B के निर्देशांक (x2, y2) हैं। फिर:

(1, 2) = ((0 + x2)/2, (-1/2 + y2)/2)

x और y निर्देशांकों की तुलना करना:

1 = (0 + x2)/2 => x2 = 2

2 = (-1/2 + y2)/2 => 4 = -1/2 + y2 => y2 = 9/2

इस प्रकार, बिंदु B (2, 9/2) है।

चरण 3: रेखा L का समीकरण ज्ञात करना

रेखा L बिंदु A (0, -1/2) और B (2, 9/2) से होकर गुजरती है। रेखा L की ढलान है:

ढलान = (9/2 - (-1/2)) / (2 - 0) = 10/4 = 5/2

रेखा L का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

y - (-1/2) = (5/2)(x - 0)

y + 1/2 = (5/2)x

भिन्न को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें:

2y + 1 = 5x

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

5x - 2y = 1

इस प्रकार, रेखा L का समीकरण 5x - 2y = 1 है।

चरण 4: a + 2b + 1 ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि रेखा L का समीकरण (a/b)x + (b/a)y = 1 के रूप का है।

इसे समीकरण 5x - 2y = 1 से तुलना करने पर, हम लिख सकते हैं:

a/b = 5 और b/a = -2।

इससे, हम पाते हैं:

a = 5 और b = -2।

अब, हम a + 2b + 1 की गणना करते हैं:

a + 2b + 1 = 5 + 2(-2) + 1 = 5 - 4 + 1 = 2।

इसलिए, a + 2b + 1 का मान 2 है।

संकल्पना:

1) बिंदुओं (x1, y1)और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं

.

2) cos² θ + sin² θ = 1

3) एक वृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है ,

जहां (a, b) केंद्र के निर्देशांक हैं और r त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है A = (0, 4) और  B = (2 cos θ, 2 sin θ) कुछ 0  के लिए

P, AB को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

माना P के निर्देशांक (h, k) है।

अनुभाग सूत्र द्वारा ( (h, k) = 

⇒ (h, k) = 

⇒ h =  , k = 

⇒ 5h = 4 cos θ  ....(1)

और 5k - 12 = 4sin θ    ....(2)

समी (1) और समी(2) का वर्ग करने और जोड़ने पर 

⇒ 

हम जानते हैं कि cos² θ + sin² θ  = 1

⇒ 

⇒ h² + (k - )² = 

समीकरण (x - a)2 + (y - b)2 = r2 के रूप में है।

अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

• K संख्याओं का अंकगणितीय माध्य k द्वारा विभाजित संख्याओं का योग है।
• k संख्याओं का ज्यामितीय माध्य, संख्याओं के गुणनफल का kवां मूल।
• पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है: 

गणना:

दिया गया है, Ak = कार्तीय तल में (ka, ak), k = 1, 2, ..... n

यहाँ, α x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ α = 

⇒ α = 

⇒ α = 

⇒ a =          ...(1)

अब β 

⇒ β = 

⇒ β = 

⇒ β = 

a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β = 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β² = 

बिंदु का अभीष्ट बिंदुपथ y2 =  है। 

संकल्पना:

द्वि-आयामी तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा दी जाती है

गणना​:

दिया गया:

रेखा का समीकरण x + y = p है।

मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को A और B पर काटती है और यदि C(h, k) AB का मध्यबिंदु है, तो

अब निर्देशांक अक्षों पर रेखा द्वारा बनाया गया अंत: खंड p है।

बिंदु C(h, k) बिंदु A(p, 0) और B(0, p) से समान दूरी पर है

चूँकि C मध्यबिंदु है, AC = BC

⇒

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ (h - p)2 + k2 = h2 + (k - p)2

⇒ h2 + p2 - 2hp + k2 = h2 + k2 + p2 - 2pk

⇒ - 2hp = - 2pk

⇒ h = k

अब, मध्य-बिंदु का बिंदुपथ प्राप्त करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें ,

⇒ x = y

∴ x - y = 0 सही है।

व्याख्या:

यदि एक तल में गति करने वाले बिन्दुओं का बिंदु पथ इस प्रकार है कि बिंदु A से इनकी दूरी नियत हो, तो अनुरेखित वक्र एक वृत्त कहलाता है।

• स्थिर बिंदु A वृत्त का केंद्र बन जाएगा।
• स्थिर दूरी वृत्त की त्रिज्या बन जाएगी।

विभिन्न अभियांत्रिकी वृत्त दिए गए हैं:

संकल्पना:

द्वि-आयामी तल में दो बिंदुओं के बीच की दूरी द्वारा दी जाती है

गणना​:

दिया गया:

रेखा का समीकरण x + y = p है।

मान लीजिए कि रेखा निर्देशांक अक्षों को A और B पर काटती है और यदि C(h, k) AB का मध्यबिंदु है, तो

अब निर्देशांक अक्षों पर रेखा द्वारा बनाया गया अंत: खंड p है।

बिंदु C(h, k) बिंदु A(p, 0) और B(0, p) से समान दूरी पर है

चूँकि C मध्यबिंदु है, AC = BC

⇒

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ (h - p)2 + k2 = h2 + (k - p)2

⇒ h2 + p2 - 2hp + k2 = h2 + k2 + p2 - 2pk

⇒ - 2hp = - 2pk

⇒ h = k

अब, मध्य-बिंदु का बिंदुपथ प्राप्त करने के लिए (h, k) को (x, y) से बदलें ,

⇒ x = y

∴ x - y = 0 सही है।

संकल्पना:

1) बिंदुओं (x1, y1)और (x2, y2) को जोड़ने वाली रेखा को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं

.

2) cos² θ + sin² θ = 1

3) एक वृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है ,

जहां (a, b) केंद्र के निर्देशांक हैं और r त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है A = (0, 4) और  B = (2 cos θ, 2 sin θ) कुछ 0  के लिए

P, AB को आंतरिक रूप से 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

माना P के निर्देशांक (h, k) है।

अनुभाग सूत्र द्वारा ( (h, k) = 

⇒ (h, k) = 

⇒ h =  , k = 

⇒ 5h = 4 cos θ  ....(1)

और 5k - 12 = 4sin θ    ....(2)

समी (1) और समी(2) का वर्ग करने और जोड़ने पर 

⇒ 

हम जानते हैं कि cos² θ + sin² θ  = 1

⇒ 

⇒ h² + (k - )² = 

समीकरण (x - a)2 + (y - b)2 = r2 के रूप में है।

अतः बिन्दु P का बिन्दुपथ एक वृत्त है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

अवधारणा:

• K संख्याओं का अंकगणितीय माध्य k द्वारा विभाजित संख्याओं का योग है।
• k संख्याओं का ज्यामितीय माध्य, संख्याओं के गुणनफल का kवां मूल।
• पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग है: 

गणना:

दिया गया है, Ak = कार्तीय तल में (ka, ak), k = 1, 2, ..... n

यहाँ, α x-निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।

⇒ α = 

⇒ α = 

⇒ α = 

⇒ a =          ...(1)

अब β 

⇒ β = 

⇒ β = 

⇒ β = 

a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β = 

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

β² = 

बिंदु का अभीष्ट बिंदुपथ y2 =  है। 

संकल्पना:

बिंदुओं का बिंदुपथ, बिंदुओं का समूह है, जो दी गई शर्तों को पूरा करता है।

(x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी का सूत्र = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 

गणना:

मान लीजिए (x, y) उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जो बिंदु (m + n, n - m) और बिंदु (m - n, n + m) से समान दूरी पर हैं।

दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,

⇒ √[x - (m + n)]2 + [y - (n - m)]2 = √[x - (m - n)]2 + [y - (n + m)]2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

⇒ [x - (m + n)]2 + [y - (n - m)]2 = [x - (m - n)]2 + [y - (n + m)]2

⇒ x2 - 2x(m + n) + (m + n)2 + y2 - 2y(n - m) + (n - m)2 = x2 - 2x(m - n) + (m - n)2 + y2 - 2y(n + m) + (n + m)2 

व्याख्या:

यदि एक तल में गति करने वाले बिन्दुओं का बिंदु पथ इस प्रकार है कि बिंदु A से इनकी दूरी नियत हो, तो अनुरेखित वक्र एक वृत्त कहलाता है।

• स्थिर बिंदु A वृत्त का केंद्र बन जाएगा।
• स्थिर दूरी वृत्त की त्रिज्या बन जाएगी।

विभिन्न अभियांत्रिकी वृत्त दिए गए हैं:

संकल्पना:

दो बिंदुओं (a, b) और (c, d) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है:

दूरी 

व्याख्या:

मान लीजिए, कि बिंदु P(h, k) दिए गए बिंदु A(2, 3) और B(4, 5) से समान दूरी पर स्थित है।

⇒ PA = PB

⇒ (h - 2)² + (k - 3)² = (h - 4)² + (k - 5)²

इसलिए, (a - b)² = a² + 2ab + b²

⇒ [h² - (2 × 2 × h) + 2² ] + [k2 - (2 × 3 × k) + 32 ] =

[h2 - (2 × 4 × ) + 42] + [k2 - (2 × 5 × h) + 5²]

⇒ (h2 - 4h + 4) + (k2 - 6k + 9) = (h2 - 8h + 16) + (k2 - 10k + 25)

⇒  - 4h + 4  - 6k + 9  =  - 8h + 16 - 10k + 25 

⇒ - 4h + 8h - 6k + 10k = 16 + 25 - 4 - 9

⇒ 4h + 4k = 28

⇒ h + k = 7

h = x और k = y को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं,

x + y = 7

∴ अभीष्ट बिंदुपथ x + y = 7 होगा।

गणना

α = 3k + 2

2β = 3h - a = 3h - 3k - 2

इसलिए, AB = 8

⇒

⇒

⇒ 9[(3k - h + 2)² + 4(k + 2)²] = 64 x 4

⇒ 9(x² + 13y² - 6xy - 4x + 28y) = 76

α - β - γ = 13 + 6 + 4 = 23

अतः विकल्प 2 सही है। 

दिया गया है:

रेखाएँ: और

चर रेखा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरती है।

X-अक्ष को A और Y-अक्ष को B पर प्रतिच्छेद करती है।

बिंदु P, AB को अनुपात -2:3 में विभाजित करता है।

गणना

1) और का प्रतिच्छेदन:

पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:

दूसरे समीकरण को घटाएँ: ⇒

में प्रतिस्थापित करें:

⇒ ⇒

प्रतिच्छेद बिंदु:

2) चर रेखा का समीकरण:

3) A और B के निर्देशांक:

A (x-अंतःखंड, y=0): ⇒ ⇒

B (y-अंतःखंड, x=0): ⇒ ⇒

4) P (h, k) के निर्देशांक:

विभाजन सूत्र:

⇒ ⇒

⇒

5) m के व्यंजकों को समान करें:

⇒

⇒

6) P (h, k) का बिंदुपथ:

इसलिए, विकल्प 4 सही है।