K-Map MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for K-Map - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही उत्तर C'+D' है। 

Key Points
कार्नोफ मानचित्र (K-मानचित्र) विधि का उपयोग करके बूलियन फलन F(A, B, C, D) को सरल बनाने के लिए, हमें पहले 4-चर K-मानचित्र का निर्माण करना होगा और फिर दिए गए न्यूनतम पदों (0, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14) के आधार पर मान भरना होगा। K-मानचित्र पर उनकी स्थिति निर्धारित करने के लिए न्यूनतम पदों को बाइनरी रूप में दर्शाया जा सकता है।

F(A, B, C, D) के लिए K-मानचित्र इस तरह दिखेगा:

सरलीकृत व्यंजक =C' + D'

अतः सही उत्तर C' + D' है। 

F (P, Q, R, S) = ∑ 0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15

डोंट केयर गुणद 2, 7, 8, 13 हैं।

K - मैप बनाने पर न्यूनतम SOP (गुणनफलों का योग) ज्ञात किया जा सकता है।

वर्णन -

k - मैप के लिए पदों को रखने पर निम्नलिखित चीजें होती है,

• तीसरे और चौथे स्तंभ को एक-दूसरे से बदला जाता है।
• तीसरी और चौथी पंक्ति।
• पद 2, (0, 2) के बजाय (0, 3) स्तंभ की ओर जाती है।
• 8, (0, 2) के बजाय (0, 3) की ओर जाती है।

उपरोक्त K - मैप को हल करने पर हमें Q̅S̅ + QS प्राप्त होता है।

सही उत्तर (a + b̅ + c) (a + c̅ + d) (a̅ + b) है।

स्पष्टीकरण:

दिए गए कार्नो मानचित्र (K-मानचित्र) के लिए योगों का न्यूनतम गुणनफल (POS) ज्ञात करने के लिए, हम इन चरणों का पालन करेंगे:

1. K-मानचित्र का विश्लेषण करें:

• 1 के समूहों की पहचान करें और उनके संगत योग पदों का निर्धारण करें।
• 0 के समूहों की पहचान करें और उनके संगत गुणनफल पदों का निर्धारण करें।
• हम अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए डोंट-केयर शर्तों ('x' से चिह्नित) का उपयोग करेंगे।

दिया गया K-मानचित्र:

चरण-दर-चरण सरलीकरण:

=> [(a + b + c̅ + d). (a + b̅ + c̅ + d)] [(a + b̅ + c + d) (a + b̅ + c +  d̅)] [(a̅ + b + c + d) (a̅ + b + c + d̅) (a̅ + b + c̅ + d̅) (a̅ + b + c̅ + d)]

=> [(a + c̅ + d) + (b̅.b)] [(a + b̅ + c) + (d̅.d)] [((a̅ + b + c) + (d̅.d)) ((a̅ + b + c̅) + (d̅.d))]   :  a̅.a = 0
=> [(a + c̅ + d) + 0] [(a + b̅ + c) + 0] [((a̅ + b + c) + 0) ((a̅ + b + c̅) + 0)]   

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) [(a̅ + b + c) (a̅ + b + c̅)]   

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) [(a̅ + b) + c̅.c]   :  a̅.a = 0

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) [(a̅ + b) + 0]

=> (a + c̅ + d) (a + b̅ + c) (a̅ + b)

सरलीकृत POS:
योगों का न्यूनतम गुणनफल व्यंजक है: (a + b̅ + c) (a + c̅ + d) (a̅ + b)

इसलिए, सही विकल्प: 4) (a + b̅ + c) (a + c̅ + d) (a̅ + b) है।

सही उत्तर A' + BC' है।

Key Pointsएक कार्नौ मैप (K-map) बूलियन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक दृश्य विधि है। यह दो, तीन, चार या अधिक चरों वाली अभिव्यक्तियों को कम करने का एक सीधा तरीका प्रदान करता है। मानचित्र एक ग्रिड है जहाँ प्रत्येक सेल बूलियन फ़ंक्शन के एक न्यूनतम पद का प्रतिनिधित्व करता है। इन न्यूनतम पदों को एक विशिष्ट प्रणाली में व्यवस्थित करके, सरलीकरण के अवसरों को देखना सरल हो जाता है।

डोंट-केयर पद (जिन्हें (x) के रूप में दर्शाया गया है) का उपयोग बूलियन फ़ंक्शन में यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि चरों के कुछ संयोजनों के लिए, आउटपुट मान 0 या 1 हो सकता है, सर्किट या तर्क की समग्र कार्यक्षमता को प्रभावित किए बिना। ये पद बूलियन अभिव्यक्ति के आगे सरलीकरण और अनुकूलन के लिए लचीलापन प्रदान करते हैं।

समाधान:

=> (A'B'C' + A'B'C + A'BC + A'BC') + (A'BC' + ABC')

=> A(B'C' + B'C + BC + BC') + BC'(A' + A)

=> A' + BC'

इसलिए, सही उत्तर A' + BC' है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

दिया गया K-मैप निम्न है,

F = a'b'c+a'bc'+ab'c'+abc

F= a'(b'c+bc')+a (b'c'+bc)

F=a'(b⊕c)+a(b⊙c)

F=a'(b⊕c)+a(b⊕c)'

F=a⊕b⊕c

अत: सही उत्तर एक्सक्लूसिव OR है।

सही उत्तर विकल्प 4 है। 

K - मैप

F(A, B, C, D) = ∑ (0, 1, 2, 3, 6, 12, 13, 14, 15)

दो K - माप को दिए गए बूलियन फलन से बनाया जा सकता है

K - मैप 1 के लिए समीकरण AB + A'B' + A'CD' है। 

K - मैप 2 के लिए समीकरण AB +A'B' + BCD' है। 

संकल्पना:

हम K-मैप की सहायता से दिए गए बूलियन फलन (फ़ंक्शन) को सरल बना सकते हैं।

K-मैप बूलियन व्यंजकों को सरल बनाने का एक व्यवस्थित तरीका है। K-मैप विधि की सहायता से, हम सबसे सरल POS और SOP व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं, जिसे न्यूनतम व्यंजक के रूप में जाना जाता है।

सत्य तालिका की तरह, K-मैप में निवेश चर के सभी संभावित मान और उनके संबंधित निर्गम (आउटपुट) मान होते हैं।

K-मैप विधि का उपयोग 2, 3, 4 और 5 चर वाले व्यंजकों के लिए किया जाता है।

गणना:

दिया गया है ;  F (x, y, z) = Σ(0, 2, 4, 5, 6) 

3 चर के-मैप:

कोष्ठिकाओं का समूहन नीचे दिखाया गया है

K-मैप से प्राप्त व्यंजक → F = z' + xy'

Additional Information 

नोट 1 - यदि निवेश के कुछ संयोजन के लिए निर्गम को परिभाषित नहीं किया गया है, तो उन निर्गम मानों को ' परवाह न करें' प्रतीक 'x' के साथ दर्शाया जाएगा। इसका अर्थ है, हम उन्हें '0' या '1' मान सकते हैं।

नोट 2 - यदि परवाह नहीं है शर्तें भी उपस्थित हैं, तो K-मैप के संबंधित सेल में 'x' जगह नहीं है। केवल 'x' की परवाह न करें पर विचार करें जो आसन्न लोगों की अधिकतम संख्या को समूहबद्ध करने में सहायक होते हैं। उन स्थितियों में, परवाह न करें मान को '1' के रूप में मानें।

F(P, Q, R, S) = PQ + P̅QR + P̅QR̅S

F(P, Q, R, S) = PQ(R + R̅)(S + S̅) + P̅QR(S + S̅) + P̅QR̅S  

F(P, Q, R, S) = PQRS + PQRS̅ + PQR̅S + PQR̅S̅ + P̅QRS + P̅QRS̅ + P̅QR̅S

F(P, Q, R, S) = ∑ (15 + 14 + 13 + 12 + 7 + 6 + 5)  

K-मैप:

F(P, Q, R, S) = PQ + QR + QS

संकल्पना:

K-मैप एक चित्रात्मक विधि है जो बूलियन समीकरणों को सरलीकृत और परिवर्तित करने के लिए या किसी सत्य सारणी को एक सरल व्यवस्थित प्रकार में इसके संबंधित लॉजिक परिपथ में परिवर्तित करने के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान करता है।

एक 'n' चर वाले K मैप में 2n कोष्ठक होते हैं

4 चर के लिए 24 होगा = दिखाए गए अनुसार 16 सेल:

गणना:

F(a, b, c) = ∑(0, 2, 4, 5, 6)

F = c' + ab'

कार्नोफ मैप (K-map):

• कार्नोफ मैप (K-map) बूलियन बीजगणित अभिव्यक्ति को सरल बनाने की एक विधि है।
• कार्नोफ मैप व्यापक गणनाओं की आवश्यकता को कम करता है।
• कार्नोफ मैप को एक सरणी के रूप में समझाया जा सकता है जिसमें 2k संख्या के कोष्ठक होते हैं, जहाँ k बूलियन अभिव्यक्ति में चर की संख्या है जिसे कम या उपयुक्त किया जाना है।

4 चरों के लिए 2⁴ = 16 सेल होंगे जैसा कि दिखाया गया है:

2 चर k-मैप में कोष्ठकों की संख्या = 22 = 4

3 चर k-मैप में कोष्ठकों की संख्या = 23 = 8 

4 चर k-मैप में कोष्ठकों की संख्या = 24 = 16 

5 चर k-मैप में कोष्ठकों की संख्या = 25 = 32

"बिना सोचे" स्थितियां हमें k-मैप के खाली कोष्ठक को बदलने और चर का एक समूह बनाने की अनुमति देती हैं जो मूल समूहों की तुलना में बड़ा है।

कोष्ठकों के समूह बनाते समय, हम "देखभाल न करें" कोष्ठक को 1 या 0 मान सकते हैं या हम उस कोष्ठक को अनदेखा भी कर सकते हैं।

व्याख्या:-

जैसा कि हम पहले से ही 'k' चर से जानते हैं, (2^k ) संख्याएँ बनाई जा सकती हैं। इस प्रकार इनपुट के रूप में 'k' चर के साथ संभावित फंक्शन की संख्या जैसे कि 'm' न्यूनतम पद हैं,

2kCm या C(2k, m)

जहां (2^k ) 'k' चरों से एक संभावित संख्या है और 'm' न्यूनतम पद की वांछित संख्या है जिसके लिए फ़ंक्शन की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए,

दो चर के साथ संभव बूलियन फंक्शन की संख्या की गणना करना जैसे कि ठीक दो न्यूनतम पद हैं।

गणना​:-

जैसा कि हम पहले से ही दो चर (a और b) से जानते हैं कि चार संख्याएं (0, 1, 2, 3) बनाई जा सकती हैं यानी बाइनरी अंकों 00, 01, 10, 11 में और संभावित न्यूनतम शब्द a'b' हैं,

a’b, ab’, ab क्रमशः जो इनपुट के रूप में संबंधित बाइनरी अंकों के लिए आउटपुट के रूप में '1' देता है।

इस प्रकार इनपुट के रूप में दो चर के साथ संभावित फंक्शन की संख्या जैसे कि ठीक दो न्यूनतम पद हैं,

4C2 = 4! / 2!(4 - 2)! = 24 / (2 × 2) = 24/4 = 6

जहां '4' दो चरों से संभावित संख्या है और '2' न्यूनतम पद की वांछित संख्या है जिसके लिए फ़ंक्शन की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है।

F (P, Q, R, S) = ∑ 0, 2, 5, 7, 8, 10, 13, 15

डोंट केयर गुणद 2, 7, 8, 13 हैं।

K - मैप बनाने पर न्यूनतम SOP (गुणनफलों का योग) ज्ञात किया जा सकता है।

वर्णन -

k - मैप के लिए पदों को रखने पर निम्नलिखित चीजें होती है,

• तीसरे और चौथे स्तंभ को एक-दूसरे से बदला जाता है।
• तीसरी और चौथी पंक्ति।
• पद 2, (0, 2) के बजाय (0, 3) स्तंभ की ओर जाती है।
• 8, (0, 2) के बजाय (0, 3) की ओर जाती है।

उपरोक्त K - मैप को हल करने पर हमें Q̅S̅ + QS प्राप्त होता है।

F = P̅.Q̅0+ P̅.Q.1 + P.Q̅.R  + P.Q.R̅. 

F = P̅.Q + P.Q̅.R + P.Q.R̅

F = P̅.Q(R̅ + R ) + P.Q̅.R + P.Q.R̅

F = P̅.Q.R̅ + P̅.Q.R + P.Q̅.R + P.Q.R̅

F = ∑ (2, 3, 5, 6)

K – नक्शा:

F = P̅ Q + Q R̅ + P Q̅ R

स्पष्टीकरण-

बूलियन अभिव्यक्तियों के सरलीकरण के लिए K-मैप द्वारा ग्रे कोड का उपयोग किया जाता है। पंक्ति और काॅलम सूचकांक (K-मैप के ऊपर और नीचे बाईं ओर दिखाए गए हैं) को बाइनरी संख्यात्मक क्रम के बजाय ग्रे कोड में क्रमबद्ध किया जाता है।Important Points

• ग्रे कोड एक गैर-भारित कोड है और इकाई-दूरी कोड का एक विशेष मामला है।
• इस गुणधर्म के कारण शाफ्ट एन्कोडर में इस कोड का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह रिफलेक्टेड कोड है।
• ग्रे कोड यह सुनिश्चित करता है कि आसन्न सेल के प्रत्येक युग्म के बीच केवल एक चर परिवर्तित होता है।

Additional Information

NBCD: - प्राकृतिक बाइनरी-कोडेड दशमलव (NBCD) प्रणाली में, प्रत्येक दशमलव अंक 0 से 9 तक चार बिट्स की एक स्ट्रिंग द्वारा दर्शाया जाता है। NBCD कोड 8421-कोड है जैसे कि एक कोडवर्ड में बिट्स का भारित योग कोडेड दशमलव अंक के बराबर होता है।

एक्सेस-3 कोड: - एक्सेस-3 कोड एक अनुक्रमिक कोड है क्योंकि हम किसी भी कोडवर्ड को उसके पिछले कोडवर्ड में बाइनरी '1' जोड़कर प्राप्त करते हैं। एक्सेस-3 कोड एक भारित कोड है जिसका उपयोग दशमलव संख्याओं को व्यक्त करने के लिए किया जाता है।

BCD:- बाइनरी कोडेड दशमलव अंक लिखने की एक प्रणाली है जो दशमलव अंक में प्रत्येक अंक 0 से 9 तक चार अंकों का बाइनरी कोड प्रदान करता है। यह दशमलव संख्याओं को बाइनरी रूप में संग्रहीत करने का एक तरीका है।