Evaluate using Special Integral Forms MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluate using Special Integral Forms - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

मान लीजिये,

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

हमें फलन दिया गया है:

I = ∫_-1¹ |tan^-1(x)| dx

चरण 1: निरपेक्ष मान के आधार पर समाकल को विभाजित करें:

I = ∫_-1⁰ -tan^-1(x) dx + ∫₀¹ tan^-1(x) dx

चरण 2: tan^-1(x) के समाकल के लिए मानक परिणाम का उपयोग करें:

∫ tan^-1(x) dx = x tan^-1(x) - 1/2 ln(1 + x²)

चरण 3: प्रत्येक समाकल की गणना करें:

∫_-1⁰ -tan^-1(x) dx के लिए, हमें मिलता है:

- [ x tan^-1(x) - 1/2 ln(1 + x²) ]_-1⁰

x = 0 पर, व्यंजक 0 हो जाता है।

x = -1 पर, हमें मिलता है:

- [-1 × (-π/4) - 1/2 ln(1 + 1)] = π/4 - 1/2 ln(2)

इस प्रकार, पहले समाकल का मान है:

π/4 - 1/2 ln(2)

∫₀¹ tan^-1(x) dx के लिए, हम समान परिणाम का उपयोग करते हैं:

[ x tan^-1(x) - 1/2 ln(1 + x²) ]₀¹

x = 1 पर, व्यंजक बन जाता है:

1 x (π/4) - 1/2 ln(2) = π/4 - 1/2 ln(2)

x = 0 पर, व्यंजक 0 है।

इस प्रकार, दूसरे समाकल का मान है:

π/4 - 1/2 ln(2)

चरण 4: दो समाकलों के परिणामों को जोड़ें:

I = (π/4 - 1/2 ln(2)) + (π/4 - 1/2 ln(2)) = π/2 - ln(2)

∴ समाकल का मान π/2 - ln(2) है।

सही उत्तर विकल्प (1): π/2 - ln(2) है। 

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए, I =

x10 = t ⇒ x = t1/10  रखने पर,

⇒

∴ I =

⇒ I =

=

= =

⇒  a =  b =  c = 21

⇒ 100(a + b + c) = 100( + + 21) = 10 + 10 + 2100 = 2120

∴ 100(a + b + c) का मान 2120 है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

स्पष्टीकरण -

मान लीजिए, ex – 1 = t2

ex dx = 2t dt 

= 

= 2 tan–1 t 

=

=

=

⇒

2x² – 5x + 2 = 0

अतः विकल्प (1) सही है।

संकल्पना​:

सम और विषम फलनों के समाकलन:

निरंतर सम फलनों के लिए जैसे कि f(−x) = f(x),

f(x)dx = 2f(x)dx

निरंतर विषम फलनों के लिए जैसे किf(−x) = −f(x),

f(x)dx = 0

हल:

I = 

माना f(x) = 

⇒ f(-x) = 

⇒ f(-x) = 

⇒ f(-x)= - f(x)

अत: f(x) विषम फलन है।

∴ दिए गए समाकल का मान 0 है।

संकल्पना:

  = e^x f(x) + c

गणना:

माना कि  है। 

माना कि f(x) =  है। 

⇒ 

∴ = 

= ex f(x) + c

=  ​​+ c

अतः विकल्प (3) सही है। 

अवधारणा:

गणना:

माना, I =

=

=                        (∵ )

=

=

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

समाकलन सूत्र

त्रिकोणमिति सूत्र

tan() = 1

गणना:

दिया हुआ

⇒ 

⇒ 

⇒ tan^-1(a) - tan^-1(0) = 

⇒ tan-1(a) - 0 = 

⇒ a = tan()

⇒ a = 1

a का मान 1 है

Additional Information

समाकल सूत्र:

• ∫ dx = x + C
• ∫ a dx = ax+ C
• ∫ sin x dx = – cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec2 x dx = tan x + C
• ∫ cosec2 x dx = - cot x + C
• ∫ sec x (tan x) dx = sec x + C
• ∫ cosec x ( cot x) dx = – cosec x + C
• ∫ (1/x) dx = ln |x| + C
• ∫ ex dx = ex + C

प्रयुक्त सूत्र:

गणना​:

आवश्यक क्षेत्रफल =  , [∵ क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता]

चूँकि, [x] G.I.F का प्रतिनिधित्व करता है और -1.8

इसलिए, दी गई श्रेणी के लिए [x] का मान  - 2 होगा

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल =  

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल = 2 [-1.5 + 1.8]

⇒ आवश्यक क्षेत्रफल = 0.6

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल 0.6 वर्गमूल है।

धारणा:

1. यदि f(x) अवधि T के साथ आवधिक फलन है तो,

2. x का आंशिक भाग: यह x और उसके महत्तम पूर्णांक भाग [x] के बीच का अंतर है

• X का आंशिक भाग इसके द्वारा दिया जाता है: {x} = x – [x]
• 0 ≤ x
• x के आंशिक भाग की अवधि एक है।

x के आंशिक भाग का आरेख:

गणना:

हमें का मूल्य खोजना होगा

                        (∵ x – [x] = {x})

जैसा कि हम जानते हैं कि {x} की अवधि एक है

अवधारणा:

कुछ मानक समाकलन सूत्र:

गणना:

∴  सही विकल्प 3 है

संकल्पना:

समाकल गुण:

गणना:

निम्न को ज्ञात करने के लिए:

माना कि f(x) = x cos x

अब, फलन विषम या सम की जाँच करने पर 

x = -x रखने पर 

⇒ f(-x) = (-x) cos (-x)

⇒ f(-x) = -x cos x (∵ cos (-x) = cos x)

इसलिए, f(x) = -f(x)

अतः दिया गया फलन विषम फलन है। 

और हम जानते हैं कि, यदि f(x) विषम है। 

∴ 

अतः  

अवधारणा

 = ex f(x) + c

गणना:

दिया हुआ: 

माना कि f(x) = cos x

⇒ f'(x) = - sin x

∴ 

धारणा:

निश्‍चित समाकल के गुण

गणना:

दिया हुआ:

                          …. (1)

अब

समीकरण 1 से, हम प्राप्त करते हैं

अवधारणा:

समाकलन सूत्र

त्रिकोणमिति सूत्र

tan ( ) = 1

गणना:

दिया हुआ

⇒ 

⇒ 

⇒ tan-1(a) - tan-1(0) = 

⇒ tan-1(a) - 0 = 

⇒ a = tan()

⇒ a = 1

a का मान 1 है

Additional Information

समाकलन सूत्र:

• ∫ dx = x + C
• ∫ a dx = ax+ C
• ∫ sin x dx = – cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec2 x dx = tan x + C
• ∫ cosec2 x dx = - cot x + C
• ∫ sec x (tan x) dx = sec x + C
• ∫ cosec x ( cot x) dx = – cosec x + C
• ∫ (1/x) dx = ln |x| + C
• ∫ ex dx = ex + C