Inequalities MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Inequalities - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Inequalities MCQ Objective Questions
Inequalities Question 1:
যদি x, |x - 2| + |x - 4| + |x - 9|
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 1 Detailed Solution
গণনা
দেওয়া আছে (|x - 2| + |x - 4| + |x - 9|
এই বিন্দুগুলি দ্বারা বিভক্ত ব্যবধানগুলি বিবেচনা করুন: (-∞, 2),(2, 4),(4, 9) এবং (9, ∞)
কেস 1: (x
|x - 2| = 2 - x , |x - 4| = 4 - x , |x - 9| = 9 - x
অসমতা হয়: (2 - x) + (4 - x) + (9 - x)
⇒ 15 - 3x 0
যেহেতু (x 0), ⇒ 0
কেস 2: (2 ≤ x
|x - 2| = x - 2 , |x - 4| = 4 - x , |x - 9| = 9 - x
অসমতা হয়: (x - 2) + (4 - x) + (9 - x)
⇒ x - 2 + 4 - x + 9 - x -4
যেহেতু x 2 এবং 4 এর মধ্যে, ⇒ 2 ≤ x
কেস 3: (4 ≤ x
|x - 2| = x - 2 , |x - 4| = x - 4 , |x - 9| = 9 - x)
অসমতা হয়: (x - 2) + (x - 4) + (9 - x)
⇒ x - 2 + x - 4 + 9 - x ⇒ x + 3 ⇒ x
যেহেতু x 4 এবং 9 এর মধ্যে ⇒ 4 ≤ x
কেস 4: (x ≥ 9)
|x - 2| = x - 2, |x - 4| = x - 4 , |x - 9| = x - 9
অসমতা হয়: (x - 2) + (x - 4) + (x - 9)
⇒ 3x - 15 ⇒ 3x ⇒ x
যেহেতু x ≥ 9 এবং x ⇒ 9 ≤ x
(1),(2),(3) এবং (4) থেকে
0
∴ বিকল্প 4 সঠিক
Inequalities Question 2:
|x - 1| ≤ 5 এবং |x| ≥ 2 সমীকরণটি পূরণ করে এমন x এর সমস্ত মানের সেট হল
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 2 Detailed Solution
ব্যাখ্যা -
আমাদের আছে,
|x - 1| ≤ 5 এবং |x| ≥ 2
⇒ -5 ≤ x - 1 ≤ 5 এবং (x ≤ -2 অথবা x ≥ 2)
⇒ -4 ≤ x ≤ 6 এবং ( x ≤ -2 অথবা x ≥ 2)
⇒ x ∈ [-4, 6] এবং x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞)
⇒ x ∈ [-4, -2] ∪ [2, 6]
Inequalities Question 3:
যদি |x|
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 3 Detailed Solution
অনুসৃত ধারণা:
|x| =
গণনা:
এখন,
x ≥ 0-এর জন্য, x
x -5
⇒ -5
Inequalities Question 4:
α, 1 - 2x - 5x² এর সর্বোচ্চ মান এবং β, x² - 2x + r এর সর্বনিম্ন মান হলে, 5αx² + βx + 6 > 0 সকল বাস্তব x এর জন্য সত্য হলে, r-এর অন্তরালটি নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 4 Detailed Solution
ধারণা:
- একটি বক্ররেখার সমালোচনামূলক বিন্দু বের করতে, এর প্রথম অন্তরজকে শূন্যের সমান রাখুন।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে কম হয়।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে বড় হয়।
গণনা:
ধরা যাক, f(x) = 1 - 2x - 5x²
x-এর সাপেক্ষে ফাংশনটির অন্তরজ নিলে:
=> f'(x) = -2 - 10x
সন্ধি বিন্দু পেতে f'(x) = 0 রাখলে
=> -2 - 10x = 0
=> 10x = -2
অথবা x = -1/5
এখন f''(x) = -10
=> f''(-1/5) = -10, যা শূন্যের চেয়ে কম।
অতএব, x = -1/5 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
=> সর্বোচ্চ মান α = f(-1/5) = 1 - 2(-1/5) - 5(-1/5)²
=> α = 1 + 2/5 - 1/5
=> α = 6/5.
ধরা যাক, g(x) = x² - 2x + r
=> g'(x) = 2x - 2
সন্ধি বিন্দু পেতে g'(x) = 0 রাখলে
2x - 2 = 0 => x = 1
g''(x) = 2
=> g''(1) = 2, যা শূন্যের চেয়ে বেশি।
অতএব, x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
=> সর্বনিম্ন মান β = g(1) = 1² - 2 × 1 + r
=> β = r - 1
তাহলে, 5αx² + βx + 6 = 5 × (6/5)x² + (r - 1)x + 6
= 6x² + (r - 1)x + 6
যেহেতু 5αx² + βx + 6 > 0 এবং x² এর সহগ > 0
অতএব, D
=> (r - 1)² - 4 × 6 × 6
=> (r - 1)² - 144
=> (r - 1)² - (12)²
=> (r - 1 - 12)(r - 1 + 12)
=> (r - 13)(r + 11)
=> r ∈ (-11, 13)
প্রয়োজনীয় অন্তরালটি হল (-11, 13)।
Inequalities Question 5:
x2 2 > 4 উভয় দ্বিঘাত অসমতা পূরণ করে এমন ক্ষুদ্রতম ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 5 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে, x2 2 > 4
x2 - 4x - 77
⇒ x2 - 11x + 7x - 77
⇒ x(x - 11) + 7(x - 11)
⇒ (x + 7)(x - 11)
∴ -7
x ∈ (-7, 11)...(1)
এছাড়াও, x2 > 4
⇒ x2 - 4 > 0
⇒ (x + 2)(x - 2) > 0
∴ x 2
(1) এবং (2) ব্যবহার করে, এই অঞ্চলগুলিকে একটি বাস্তব রেখায় চিহ্নিত করুন এবং তাদের ছেদ নিন।
দুটি অঞ্চলের ছেদ -7
আমাদের ক্ষুদ্রতম ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে।
অতএব আমরা -7
অতএব -6 থেকে -3 পর্যন্ত সমস্ত ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা উপরের শর্ত পূরণ করবে এবং এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম হল -6
∴ সঠিক বিকল্প হল (2)
Top Inequalities MCQ Objective Questions
7 ≤ |x| + 4
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFগণনা:
প্রদত্ত অসমতা হল 7 ≤ |x| + 4
|x| + 4 ≥ 7 এর জন্য
⇒ |x| ≥ 7 - 4
⇒ |x| ≥ 3
সুতরাং, বীজ = 3 এবং - 3
x ∈ (-∞, -3] U [3, ∞)
|x| + 4
⇒ |x|
সুতরাং, বীজ = 6 এবং -6
x ∈ (-6, 6)
অতএব,
সুতরাং, x ∈ (-6, - 3] U [3, 6)
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFঅনুসৃত ধারণা:
|x| =
গণনা:
এখন,
x ≥ 0-এর জন্য, x
x -5
⇒ -5
Inequalities Question 8:
7 ≤ |x| + 4
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 8 Detailed Solution
গণনা:
প্রদত্ত অসমতা হল 7 ≤ |x| + 4
|x| + 4 ≥ 7 এর জন্য
⇒ |x| ≥ 7 - 4
⇒ |x| ≥ 3
সুতরাং, বীজ = 3 এবং - 3
x ∈ (-∞, -3] U [3, ∞)
|x| + 4
⇒ |x|
সুতরাং, বীজ = 6 এবং -6
x ∈ (-6, 6)
অতএব,
সুতরাং, x ∈ (-6, - 3] U [3, 6)
Inequalities Question 9:
α, 1 - 2x - 5x² এর সর্বোচ্চ মান এবং β, x² - 2x + r এর সর্বনিম্ন মান হলে, 5αx² + βx + 6 > 0 সকল বাস্তব x এর জন্য সত্য হলে, r-এর অন্তরালটি নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 9 Detailed Solution
ধারণা:
- একটি বক্ররেখার সমালোচনামূলক বিন্দু বের করতে, এর প্রথম অন্তরজকে শূন্যের সমান রাখুন।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বোচ্চ মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে কম হয়।
ফাংশনটির স্থানীয় সর্বনিম্ন মান থাকে যদি এর সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্যের চেয়ে বড় হয়।
গণনা:
ধরা যাক, f(x) = 1 - 2x - 5x²
x-এর সাপেক্ষে ফাংশনটির অন্তরজ নিলে:
=> f'(x) = -2 - 10x
সন্ধি বিন্দু পেতে f'(x) = 0 রাখলে
=> -2 - 10x = 0
=> 10x = -2
অথবা x = -1/5
এখন f''(x) = -10
=> f''(-1/5) = -10, যা শূন্যের চেয়ে কম।
অতএব, x = -1/5 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান আছে।
=> সর্বোচ্চ মান α = f(-1/5) = 1 - 2(-1/5) - 5(-1/5)²
=> α = 1 + 2/5 - 1/5
=> α = 6/5.
ধরা যাক, g(x) = x² - 2x + r
=> g'(x) = 2x - 2
সন্ধি বিন্দু পেতে g'(x) = 0 রাখলে
2x - 2 = 0 => x = 1
g''(x) = 2
=> g''(1) = 2, যা শূন্যের চেয়ে বেশি।
অতএব, x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান আছে।
=> সর্বনিম্ন মান β = g(1) = 1² - 2 × 1 + r
=> β = r - 1
তাহলে, 5αx² + βx + 6 = 5 × (6/5)x² + (r - 1)x + 6
= 6x² + (r - 1)x + 6
যেহেতু 5αx² + βx + 6 > 0 এবং x² এর সহগ > 0
অতএব, D
=> (r - 1)² - 4 × 6 × 6
=> (r - 1)² - 144
=> (r - 1)² - (12)²
=> (r - 1 - 12)(r - 1 + 12)
=> (r - 13)(r + 11)
=> r ∈ (-11, 13)
প্রয়োজনীয় অন্তরালটি হল (-11, 13)।
Inequalities Question 10:
যদি |x|
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 10 Detailed Solution
অনুসৃত ধারণা:
|x| =
গণনা:
এখন,
x ≥ 0-এর জন্য, x
x -5
⇒ -5
Inequalities Question 11:
|x - 1| ≤ 5 এবং |x| ≥ 2 সমীকরণটি পূরণ করে এমন x এর সমস্ত মানের সেট হল
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 11 Detailed Solution
ব্যাখ্যা -
আমাদের আছে,
|x - 1| ≤ 5 এবং |x| ≥ 2
⇒ -5 ≤ x - 1 ≤ 5 এবং (x ≤ -2 অথবা x ≥ 2)
⇒ -4 ≤ x ≤ 6 এবং ( x ≤ -2 অথবা x ≥ 2)
⇒ x ∈ [-4, 6] এবং x ∈ (-∞, -2] ∪ [2, ∞)
⇒ x ∈ [-4, -2] ∪ [2, 6]
Inequalities Question 12:
x2 2 > 4 উভয় দ্বিঘাত অসমতা পূরণ করে এমন ক্ষুদ্রতম ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হল
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 12 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে, x2 2 > 4
x2 - 4x - 77
⇒ x2 - 11x + 7x - 77
⇒ x(x - 11) + 7(x - 11)
⇒ (x + 7)(x - 11)
∴ -7
x ∈ (-7, 11)...(1)
এছাড়াও, x2 > 4
⇒ x2 - 4 > 0
⇒ (x + 2)(x - 2) > 0
∴ x 2
(1) এবং (2) ব্যবহার করে, এই অঞ্চলগুলিকে একটি বাস্তব রেখায় চিহ্নিত করুন এবং তাদের ছেদ নিন।
দুটি অঞ্চলের ছেদ -7
আমাদের ক্ষুদ্রতম ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে।
অতএব আমরা -7
অতএব -6 থেকে -3 পর্যন্ত সমস্ত ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা উপরের শর্ত পূরণ করবে এবং এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম হল -6
∴ সঠিক বিকল্প হল (2)
Inequalities Question 13:
যদি x, |x - 2| + |x - 4| + |x - 9|
Answer (Detailed Solution Below)
Inequalities Question 13 Detailed Solution
গণনা
দেওয়া আছে (|x - 2| + |x - 4| + |x - 9|
এই বিন্দুগুলি দ্বারা বিভক্ত ব্যবধানগুলি বিবেচনা করুন: (-∞, 2),(2, 4),(4, 9) এবং (9, ∞)
কেস 1: (x
|x - 2| = 2 - x , |x - 4| = 4 - x , |x - 9| = 9 - x
অসমতা হয়: (2 - x) + (4 - x) + (9 - x)
⇒ 15 - 3x 0
যেহেতু (x 0), ⇒ 0
কেস 2: (2 ≤ x
|x - 2| = x - 2 , |x - 4| = 4 - x , |x - 9| = 9 - x
অসমতা হয়: (x - 2) + (4 - x) + (9 - x)
⇒ x - 2 + 4 - x + 9 - x -4
যেহেতু x 2 এবং 4 এর মধ্যে, ⇒ 2 ≤ x
কেস 3: (4 ≤ x
|x - 2| = x - 2 , |x - 4| = x - 4 , |x - 9| = 9 - x)
অসমতা হয়: (x - 2) + (x - 4) + (9 - x)
⇒ x - 2 + x - 4 + 9 - x ⇒ x + 3 ⇒ x
যেহেতু x 4 এবং 9 এর মধ্যে ⇒ 4 ≤ x
কেস 4: (x ≥ 9)
|x - 2| = x - 2, |x - 4| = x - 4 , |x - 9| = x - 9
অসমতা হয়: (x - 2) + (x - 4) + (x - 9)
⇒ 3x - 15 ⇒ 3x ⇒ x
যেহেতু x ≥ 9 এবং x ⇒ 9 ≤ x
(1),(2),(3) এবং (4) থেকে
0
∴ বিকল্প 4 সঠিক